Saturs

• Lai soli

Trigonometriskais vienādojums ir vienādojums ar vienu vai vairākām mainīgās trigonometriskās līknes x trigonometriskajām funkcijām. Risinājums x nozīmē trigonometrisko līkņu vērtību atrašanu, kuru trigonometriskās funkcijas izraisa trigonometriskā vienādojuma patiesumu.

• Risinājuma līkņu atbildes vai vērtības izsaka grādos vai radiānos. Piemēri:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 grādi; x = 37,12 grādi; x = 178,37 grādi

• Piezīme: Vienības aplī jebkuras līknes trigonometriskās funkcijas ir vienādas ar attiecīgā leņķa trigonometriskajām funkcijām. Vienības aplis nosaka visas mainīgā līknes x trigonometriskās funkcijas. To izmanto arī kā pierādījumu trigonometrisko pamatvienādojumu un nevienlīdzību risināšanā.
• Trigonometrisko vienādojumu piemēri:
  • grēks x + grēks 2x = 1/2; iedegums x + gultiņa x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Vienības aplis.
   • Tas ir aplis ar rādiusu = 1, kur O ir izcelsme. Vienības aplis definē 4 mainīgā līknes x galvenās trigonometriskās funkcijas, kuras ap to apņem pretēji pulksteņrādītāja virzienam.
   • Kad līkne ar vērtību x mainās no vienības apļa, tad tur:
   • Horizontālā ass OAx nosaka trigonometrisko funkciju f (x) = cos x.
   • Vertikālā ass OBy nosaka trigonometrisko funkciju f (x) = sin x.
   • Vertikālā ass AT nosaka trigonometrisko funkciju f (x) = tan x.
   • Horizontālā ass BU nosaka trigonometrisko funkciju f (x) = bērnu gultiņa x.

• Vienības apli izmanto arī, lai atrisinātu trigonometriskos pamatvienādojumus un standarta trigonometriskās nevienlīdzības, ņemot vērā līknes x dažādās pozīcijas uz apļa.

Lai soli

1. Izprotiet risinājuma metodi.
   • Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, jūs to pārveidojat par vienu vai vairākiem pamata trigonometriskiem vienādojumiem. Trigonometrisko vienādojumu atrisināšana galarezultātā atrisina 4 trigonometriskos pamatvienādojumus.
2. Zināt, kā atrisināt trigonometriskos pamatvienādojumus.
   • Ir 4 trigonometriskie vienādojumi:
   • sin x = a; cos x = a
   • iedegums x = a; gultiņa x = a
   • Trigonometriskos pamatvienādojumus varat atrisināt, pētot dažādas līknes x pozīcijas trigonometriskajā aplī un izmantojot trigonometriskās konversijas tabulu (vai kalkulatoru). Lai pilnībā saprastu, kā atrisināt šos un līdzīgus trigonometriskos pamatvienādojumus, izlasiet šo grāmatu: "Trigonometrija: Trigonometrisko vienādojumu un nevienādību risināšana" (Amazon E-book 2010).
   • 1. piemērs. Atrisiniet grēku x = 0,866. Konversijas tabula (vai kalkulators) sniedz atbildi: x = Pi / 3. Trigonometriskais aplis dod citu līkni (2Pi / 3) ar tādu pašu vērtību sinusam (0,866). Trigonometriskais aplis nodrošina arī bezgalīgu atbilžu skaitu, ko sauc par paplašinātām atbildēm.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi un x2 = 2Pi / 3. (Atbildes laika posmā (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi un x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Detalizētas atbildes).
   • 2. piemērs. Atrisiniet: cos x = -1/2. Kalkulatori dod x = 2 Pi / 3. Arī trigonometriskais aplis dod x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi un x2 = - 2Pi / 3. (Atbildes par periodu (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi un x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Paplašinātas atbildes)
   • 3. piemērs. Atrisiniet: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Atbilde)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Paplašināta atbilde)
   • 4. piemērs. Atrisiniet: gultiņa 2x = 1,732. Kalkulatori un trigonometriskais aplis dod:
   • x = Pi / 12; (Atbilde)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Paplašinātas atbildes)
3. Uzziniet transformācijas, kas tiek izmantotas trigonometrisko vienādojumu risināšanā.
   • Lai konvertētu norādīto trigonometrisko vienādojumu par standarta trigonometriskiem vienādojumiem, izmantojiet standarta algebriskos pārveidojumus (faktorizācija, kopējais faktors, polinomi ...), trigonometrisko funkciju definīcijas un īpašības un trigonometriskās identitātes. Ir aptuveni 31, no kuriem 14 ir trigonometriskās identitātes, no 19 līdz 31, ko sauc arī par transformācijas identitātēm, jo ​​tās tiek izmantotas trigonometrisko vienādojumu pārveidošanā. Skatīt iepriekš minēto grāmatu.
   • 5. piemērs: trigonometrisko vienādojumu: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 var pārveidot par trigonometrisko pamatvienādojumu reizinājumu, izmantojot trigonometriskās identitātes: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Trigonometriskie pamatvienādojumi, kas jāatrisina, ir: cos x = 0; grēks (3x / 2) = 0; un cos (x / 2) = 0.
4. Atrodiet līknes, kurām zināmas trigonometriskās funkcijas.
   • Pirms jūs varat uzzināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus, jums jāzina, kā ātri atrast līknes, kurām zināmas trigonometriskās funkcijas. Līkņu (vai leņķu) konversijas vērtības var noteikt ar trigonometriskām tabulām vai kalkulatoru.
   • Piemērs: Atrisiniet cos x = 0,732. Kalkulators dod šķīdumam x = 42,95 grādus. Vienības aplis dod citas līknes ar vienādu kosinusa vērtību.
5. Uz vienības apļa uzzīmējiet atbildes loku.
   • Jūs varat izveidot diagrammu, lai ilustrētu risinājumu uz vienības apļa. Šo līkņu beigu punkti ir regulāri daudzstūri uz trigonometriskā apļa. Daži piemēri:
   • Līknes beigu punkti x = Pi / 3 + k. Pi / 2 ir kvadrāts uz vienības apļa.
   • Līknes x = Pi / 4 + k. Pi / 3 attēlo ar sešstūra koordinātām uz vienības apļa.
6. Uzziniet, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus.
   • Ja dotajā trigonometriskajā vienādojumā ir tikai viena trigonometriskā funkcija, atrisiniet to kā standarta trigonometrisko vienādojumu. Ja dotajā vienādojumā ir divas vai vairākas trigonometriskās funkcijas, atkarībā no vienādojuma konvertēšanas iespējām ir 2 risinājumu metodes.
     • A. 1. metode.
   • Konvertējiet trigonometrisko vienādojumu uz šādas formas reizinājumu: f (x) .g (x) = 0 vai f (x) .g (x) .h (x) = 0, kur f (x), g (x) un h (x) ir trigonometriskie pamatvienādojumi.
   • 6. piemērs. Atrisiniet: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Risinājums. Vienādojumā aizstājiet sin 2x, izmantojot identitāti: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Tad atrisiniet 2 standarta trigonometriskās funkcijas: cos x = 0 un (sin x + 1) = 0.
   • 7. piemērs. Atrisiniet: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Risinājums: konvertējiet to par produktu, izmantojot trigonometriskās identitātes: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Tagad atrisiniet 2 trigonometriskos pamatvienādojumus: cos 2x = 0 un (2cos x + 1) = 0.
   • 8. piemērs. Atrisiniet: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Risinājums: pārveidojiet to par produktu, izmantojot trigonometriskās identitātes: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet 2 trigonometriskos pamatvienādojumus: cos 2x = 0 un (2sin x + 1) = 0.
     • B. Pieeja 2.
   • Pārvērš trig vienādojumu par trig vienādojumu, kurā kā mainīgais ir tikai viena unikāla trigera funkcija. Ir daži padomi, kā izvēlēties piemērotu mainīgo. Parasti mainīgie ir: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, iedegums x = t un iedegums (x / 2) = t.
   • 9. piemērs. Atrisiniet: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Risinājums. Vienādojumā aizstājiet (cos ^ 2x) ar (1 - sin ^ 2x) un vienkāršojiet vienādojumu:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Tagad izmantojiet sin x = t. Vienādojums kļūst par: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Šis ir kvadrātvienādojums ar 2 saknēm: t1 = -1 un t2 = 9/5. Mēs varam noraidīt otro t2, jo> 1. Tagad atrisiniet: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • 10. piemērs. Atrisiniet: tan x + 2 tan ^ 2 x = gultiņa x + 2.
   • Risinājums. Izmantojiet iedegumu x = t. Konvertējiet doto vienādojumu vienādojumā ar t kā mainīgo: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Atrisiniet t no šī reizinājuma, tad atrisiniet standarta trigonometrisko vienādojumu tan x = t x.
7. Atrisiniet īpašus trigonometriskos vienādojumus.
   • Ir daži īpaši trigonometriskie vienādojumi, kuriem nepieciešami daži konkrēti pārveidojumi. Piemēri:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Uzziniet trigonometrisko funkciju periodiskās īpašības.
   • Visas trigonometriskās funkcijas ir periodiskas, tas nozīmē, ka pēc perioda rotācijas tās atgriežas tajā pašā vērtībā. Piemēri:
     • Funkcijai f (x) = sin x kā punkts ir 2Pi.
     • Funkcijai f (x) = tan x ir Pi kā punkts.
     • Funkcijai f (x) = sin 2x ir Pi kā punkts.
     • Funkcijai f (x) = cos (x / 2) kā periods ir 4Pi.
   • Ja vingrinājumos / testā ir norādīts periods, tad šajā periodā jums vienkārši jāatrod līkne (-es) x.
   • PIEZĪME. Trigonometrisko vienādojumu risināšana ir sarežģīta un bieži noved pie kļūdām un kļūdām. Tāpēc atbildes ir rūpīgi jāpārbauda. Pēc atrisināšanas jūs varat pārbaudīt atbildes, izmantojot grafiku kalkulatoru, lai sniegtu tiešu norādīto trigonometrisko vienādojumu R (x) = 0. Atbildes (kā kvadrātsakne) ir norādītas aiz komata. Piemēram, Pi vērtībai ir 3,14