Saturs

• Lai soli
• Padomi

Kā grafiku skatiet kvadrātvienādojumu cirvis + bx + c , arī kas ir rakstīts kā a (x - h) + k, izskatās kā gluda līkne U formā. Mēs to saucam par vienu parabola. Kvadrāta vienādojuma grafiks ietver virsotnes, virziena un bieži krustošanās punktu atrašanu ar x asi un y asi. Salīdzinoši vienkāršā kvadrātvienādojuma gadījumā var būt arī pietiekami ievadīt vairākas vērtību x, lai norādītu šos punktus koordinātu sistēmā, pēc kura var uzzīmēt parabolu. Lai sāktu, turpiniet 1. darbību.

Lai soli

1. Nosakiet, kāds jums ir otrās pakāpes vienādojums. To var rakstīt divējādi: standarta apzīmējums un virsotnes apzīmējums (vēl viens veids, kā rakstīt kvadrātsaknes formulu). Jūs varat izmantot abus, lai izveidotu kvadrātvienādojuma grafiku, taču process katrā gadījumā ir nedaudz atšķirīgs. Lielāko daļu laika jūs sastopaties ar standarta formu, taču tas noteikti nekaitē, ja iemācīsities izmantot abas formas. Divas kvadrātvienādojuma formas ir:
   • Standarta forma. Kvadrātvienādojums tiek atzīmēts kā: f (x) = ax + bx + c, kur a, b un c ir reāli skaitļi un a nav vienāds ar nulli.
     • Divi standarta kvadrātvienādojumu piemēri: f (x) = x + 2x + 1 un f (x) = 9x + 10x -8.
   • Virsotnes forma. Kvadrātvienādojums tiek atzīmēts šādi: f (x) = a (x - h) + k, kur a, h un k ir reāli skaitļi un a nav vienāds ar nulli. Šo formu sauc par virsotni, jo h un k attiecas tieši uz jūsu parabola augšdaļu punktā (h, k).
     • Divi virsotnes formas vienādojumu piemēri ir f (x) = 9 (x - 4) + 18 un -3 (x - 5) + 1
   • Lai izveidotu šo vienādojumu grafiku, vispirms jānosaka grafika augšdaļa (h, k). Standarta vienādojumā to atradīsit caur: h = -b / 2a un k = f (h), bet tas jau ir norādīts virsotņu formā, jo h un k notiek vienādojumā.
2. Nosakiet savus mainīgos. Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, parasti jānosaka mainīgie a, b un c (vai a, h un k). Regulārs vingrinājums sniegs jums otrās pakāpes vienādojumu standarta formā, bet var parādīties arī virsotnes apzīmējums.
   • Piemēram: standarta funkcija f (x) = 2x + 16x + 39. Šeit mums ir a = 2, b = 16 un c = 39.
   • Virsotnes apzīmējumā: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Šeit mums ir a = 4, h = 5 un k = 12.
3. Aprēķiniet h. Virsotnes apzīmējumā h vērtība jau ir norādīta, bet standarta apzīmējumā šī vērtība vēl nav jāaprēķina. Atcerieties, ka ar standarta vienādojumu: h = -b / 2a.
   • 1. piemērs. (F (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Risinot to, mēs redzam, ka h = -4.
   • 2. piemērs (f (x) = 4 (x - 5) + 12), mēs uzreiz redzam, ka h = 5.
4. Aprēķiniet k. Tāpat kā ar h, k jau ir zināms no virsotnes formas vienādojumiem. Attiecībā uz vienādojumiem standarta apzīmējumā atcerieties, ka k = f (h). Citiem vārdiem sakot, jūs varat atrast k, aizstājot jebkuru mainīgo x ar h vērtību.
   • Mēs, piemēram, 1 redzējām, ka h = -4. Lai atrastu k, mēs atrisinām šo vienādojumu, aizpildot šo h vērtību vienādojumā mainīgajam x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • No 2. piemēra mēs zinām, ka k vērtība ir vienāda ar 12, bez nepieciešamības veikt nekādus aprēķinus.
5. Uzzīmējiet diagrammas augšējo vai apakšējo daļu. Jūsu parabolas virsotne vai ieleja ir punkts (h, k) - h apzīmē x koordinātu un k apzīmē y koordinātu. Virsotne ir jūsu parabolas centrs - augstākais vai zemākais punkts, virsotne vai ieleja, grafikam "U" formā vai otrādi.Spēja noteikt parabolas augšdaļu ir būtiska pareiza grafika zīmēšanas sastāvdaļa - bieži parabola augšdaļas noteikšana ir daļa no matemātikas problēmas skolā.
   • 1. piemērā diagrammas augšdaļa ir (-4.7). Uzzīmējiet punktu savā diagrammā un pārliecinieties, vai pareizi nosaucāt koordinātas.
   • 2. piemērā augšdaļa ir (5.12). Tātad no punkta (0,0) jūs dodaties 5 vietas pa labi un tad uz augšu par 12.
6. Ja nepieciešams, uzzīmējiet parabolas simetrijas asi. Parabolas simetrijas ass ir līnija, kas šķērso figūru vidū, precīzi sadalot to uz pusēm. Viena grafika puse ir atspoguļota gar šo līniju diagrammas otrā pusē. Vai nu ax + bx + c, vai a (x - h) + k kvadrātveida vienādojumos, šī ass ir līnija, kas paralēla y asij, kas iet caur parabola virsotni.
   • 1. piemērā simetrijas ass ir līnija, kas ir paralēla y asij un iet caur punktu (-4,7). Lai gan tā nav daļa no pašas parabola, viegli uzsverot šo vadlīniju, var parādīt, cik simetriska ir parabola līkne.
7. Nosakiet parabolas virzienu. Pēc tam, kad esat uzzinājis, kas ir parabola virsotne, ir jāzina, vai jums ir darīšana ar kalnu vai ielejas parabolu, t.i., vai atvere atrodas apakšā vai augšpusē. Par laimi, tas ir ļoti viegli. Ja "a" ir pozitīvs, jums ir darīšana ar ielejas parabolu; ja "a" ir negatīvs, tas ir kalnu parabola (ar atvērumu apakšā)
   • 1. piemērā mums ir darīšana ar funkciju (f (x) = 2x + 16x + 39), tātad šī ir ielejas parabola, jo a = 2 (pozitīva).
   • 2. piemērā mums ir darīšana ar funkciju f (x) = 4 (x - 5) + 12), un tas ir arī ielejas parabola, jo a = 4 (pozitīvs).
8. Ja nepieciešams, nosakiet parabolas krustošanās punktus. Bieži vien, kad matemātikas uzdevumam tiek lūgts dot parabola un x ass krustojumus (tie ir "nulle", a vai divi punkti, kur parabola krustojas vai trāpa x asi). Pat ja tie netiek pieprasīti, šie punkti ir ļoti svarīgi, lai varētu uzzīmēt precīzu grafiku. Bet ne visām parabolām ir krustojums ar x asi. Ja jums ir darīšana ar ielejas parabolu un ielejas punkts atrodas virs x ass vai, kalnu parabola gadījumā, tieši zem x ass, tad krustošanās punktu vienkārši nav. Ja tā, izmantojiet kādu no šīm metodēm:
   • Nosakiet, ka f (x) = 0, un atrisiniet vienādojumu. Šī metode var darboties vienkāršiem kvadrātvienādojumiem, it īpaši virsotņu formā, taču jūs atradīsit, ka tas kļūst arvien grūtāk, jo funkcijas kļūst sarežģītākas. Zemāk ir daži piemēri.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 un 13 ir krustpunkti ar parabolas x asi.
   • Faktors vienādojums. Dažus vienādojumus formā ax + bx + c var viegli pārrakstīt kā (dx + e) ​​(fx + g), kur dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx un e × g = c. Šajā gadījumā x krustojumi ir x vērtības, kur katrs iekavās esošais termins kļūst vienāds ar 0. Piemēram:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • Šajā gadījumā krustošanās punkts ir -1, jo, ievadot abos faktoros, tas dod nulli.
   • Izmantojiet abc formulu. Ja nav viegli noskaidrot krustojumus vai faktorizēt vienādojumu, speciāli šim nolūkam izmantojiet "abc formulu". Pieņemsim vienādojumu formā ax + bx + c. Pēc tam ievadiet a, b un c vērtības formulā x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Ņemiet vērā, ka tas bieži dod divas atbildes uz x, kas ir labi - tas tikai nozīmē, ka jūsu parabolai ir divi krustpunkti ar x asi. Lūk, piemērs:
     • Vienādojumā ievadiet -5x + 1x + 10 šādā veidā:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) un (-15,18 / -10). Parabolas un x ass krustošanās punkti ir aptuveni x = -1,318 un 1,518
     • Tāpat kā 1. piemērā ar vienādojumu 2x + 16x + 39, tas izskatīsies šādi:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Tā kā nav iespējams atrast negatīvā skaitļa kvadrātsakni, mēs zinām, ka šai konkrētajai parabolai nav krustošanās punktu ar x asi.
9. Ja nepieciešams, nosakiet parabolas krustojumu ar y asi. Bieži tas nav nepieciešams, bet dažreiz ir nepieciešams atrast šo krustojumu, piemēram, matemātikas uzdevumam. Tas ir diezgan viegli - iestatiet x vērtību uz 0 un atrisiniet vienādojumu f (x) vai y, kas dod jums punkta y vērtību, kur parabola krustojas ar y asi. Atšķirība ar krustošanās punktiem caur x asi ir tāda, ka y asī vienmēr ir tikai viens krustošanās punkts. Piezīme - ar standarta vienādojumiem krustojums ar y asi ir y = c.
   • Piemēram, mēs zinām, ka mūsu kvadrātvienādojumam 2x + 16x + 39 ir krustojums y = 39, taču to varam atrast arī šādi:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Parabola un Y ass krustojums: y = 39. Kā norādīts iepriekš, mēs varam viegli nolasīt krustošanās punktu, jo y = c.
   • Vienādojumam 4 (x - 5) + 12 ir krustojums ar y asi, kuru var atrast šādi:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Krustojums ar y asi: y = 112.
10. Ja uzskatāt, ka tas ir nepieciešams, vispirms uzzīmējiet papildu punktus un pēc tam visu diagrammu. Tagad jums vajadzētu būt virsotnei vai ielejai, virzienam, krustošanās punktiem ar x asi un, iespējams, ar jūsu vienādojuma y asi. No šī brīža varat mēģināt uzzīmēt parabolu, izmantojot šos punktus, vai arī varat mēģināt atrast vairāk punktu, lai grafiks būtu precīzāks. Vieglākais veids, kā to izdarīt, ir vienkārši ievadīt vairākas x vērtības, kas atgriezīs vairākas y vērtības. Pirms sākat parabola zīmēšanu, jums (skolotājam) bieži tiks lūgts aprēķināt punktu skaitu.
    • Apskatīsim vēlreiz vienādojumu x + 2x + 1. Mēs jau zinām, ka vienīgais krustojums ar x asi ir (-1,0). Tā kā šajā brīdī tas skar tikai x asi, mēs varam secināt, ka grafika augšdaļa ir vienāda ar šo punktu. Pagaidām mums ir tikai viens šīs parabolas punkts - tas nav gandrīz pietiekami, lai uzzīmētu grafiku. Atradīsim vēl dažus punktus, lai pārliecinātos, ka mums ir vairāk vērtību.
      • Mēģināsim atrast y vērtības, kas atbilst šādām x vērtībām: 0, 1, -2 un -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Tad punkts (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Tad punkts (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Tad punkts (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Tad punkts (-3,4).
      • Novietojiet šos punktus diagrammā un uzzīmējiet savu parabolu. Ņemiet vērā, ka parabola ir pilnīgi simetriska - ja jūs zināt punktus grafika vienā pusē, jūs parasti varat ietaupīt daudz darba, izmantojot šos punktus, lai atrastu punktus simetrijas ass otrā pusē.

Padomi

• Ja nepieciešams, noapaļojiet skaitļus vai izmantojiet frakcijas. Tas var palīdzēt pareizi attēlot diagrammu.
• Ņemiet vērā, ka, ja funkcijai f (x) = ax + bx + c, b vai c ir vienāda ar nulli, šie termini izzudīs. Piemēram, 12x + 0x + 6 kļūst vienāds ar 12x + 6, jo 0x ir vienāds ar 0.