Analizējiet kvadrātvienādojumus faktoros - Padomi

Video: How To Solve Quadratic Equations By Factoring - Quick & Simple!

Saturs

Soļi
Padoms
Ko tev vajag

Matemātikā faktoru analīze ir atrast skaitļus vai izteicienus ar dotā skaitļa vai vienādojuma reizinājumu. Faktoru analīze ir noderīga prasme, kas jāapgūst, lai atrisinātu pamatalgebras problēmas: prasme prasmīgi faktorizēt ir gandrīz kritiska, kad runa ir par darbu. ar algebriskiem vienādojumiem vai citām polinomu formām. Faktoru analīzi var izmantot, lai samazinātu algebriskās izteiksmes, padarot problēmu vienkāršāku. Pateicoties tam, jūs pat varat daudz ātrāk novērst noteiktas iespējamās atbildes nekā atrisināt ar rokām.

Soļi

1. metode no 3: analizējiet skaitļus un pamata algebriskās izteiksmes faktoros

Izprotiet faktoru analīzes definīciju, piemērojot tos vieniem skaitļiem. Lai gan konceptuāli vienkārši, praksē sarežģītu vienādojumu izmantošana var būt diezgan sarežģīta. Tāpēc vienkāršākā faktoru analīzes konceptuālā pieeja ir sākt no atsevišķiem skaitļiem un pēc tam pāriet uz vienkāršiem vienādojumiem, pirms turpināt attīstītākas lietojumprogrammas. Faktors dotajam skaitlim ir skaitļi ar tā paša skaitļa reizinājumu. Piemēram, 1, 12, 2, 6, 3 un 4 ir koeficienti 12, jo 1 × 12, 2 × 6 un 3 × 4 visi ir vienādi ar 12.
- Citiem vārdiem sakot, noteiktā skaitļa faktori ir skaitļi ir sadalīts pēc šī skaitļa.
- Vai jūs varat atrast pilnu koeficientu 60? Skaitlis 60 tiek izmantots daudziem dažādiem mērķiem (minūtes stundā, sekundes minūtē utt.), Jo tas dalās ar daudziem skaitļiem.
  - Skaitlim 60 ir šādi faktori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 un 60.
Saprotiet, ka var izteikt arī izteicienus, kas satur mainīgos. Papildus neatkarīgajiem skaitļiem var faktorizēt arī mainīgos ar aritmētiskajiem koeficientiem. Lai to izdarītu, mums vienkārši jāatrod mainīgā koeficienta koeficienti. Zināšanas par to, kā analizēt faktorus, ir ļoti noderīga vienkāršos transformējošos algebriskos vienādojumos, kas satur mainīgos.
- Piemēram, 12x var pārrakstīt, lai iegūtu 12 un x rezultātus. Ir iespējams rakstīt 12x kā 3 (4x), 2 (6x) utt., Un izmantot jebkuru faktoru, kas vislabāk atbilst 12 paredzētajam lietojumam.
  - Jūs pat varat veikt pat 12x analīzi daudzas reizes. Citiem vārdiem sakot, nav nepieciešams apstāties pie 3 (4x) vai 2 (6x) - mēs varam analizēt 4x un 6x, lai iegūtu attiecīgi 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)). Šī formula ir līdzvērtīga.
Pielietojiet reizināšanas asociatīvās īpašības algebrisko vienādojumu faktorizēšanai. Izmantojot zināšanas par neatkarīgu skaitļu un koeficientu analīzi faktoros, jūs varat vienkāršot vienkāršus algebriskos vienādojumus, atrodot vienādojumā iekļauto skaitļu un mainīgo kopīgos faktorus. Bieži vien, lai vienādojums būtu pēc iespējas vienkāršāks, mēs centīsimies atrast lielāko kopīgo dalītāju. Šī vienkāršā pārveidošana ir iespējama, pateicoties reizināšanas asociatīvajam raksturam - katram skaitlim a, b un c mums ir: a (b + c) = ab + ac.
- Apsvērsim šādu piemēru. Lai algebrisko vienādojumu 12x + 6 iekļautu faktorā, vispirms mēs atrodam lielāko kopīgo dalītāju 12x un 6. 6 ir lielākais skaitlis, ar kuru gan 12x, gan 6 dalās, tāpēc mēs varam vienkārši pārveidot samazināt vienādojumu līdz 6 (2x + 1).
- Tas pats process attiecas uz vienādojumiem, kuriem ir negatīvas zīmes un frakcijas. Piemēram, x / 2 + 4 var vienkārši pārveidot par 1/2 (x + 8), un -7x + -21 var sadalīt līdz -7 (x + 3).
reklāma

2. metode no 3: kvadrātvienādojumu analīze faktoros

Pārliecinieties, vai vienādojums ir kvadrātveida (ax + bx + c = 0). Kvadrātiskā vienādojuma forma ir ax + bx + c = 0, kur a, b un c ir konstantes un a nav nulles (ņemiet vērā, ka a maijs ir vienāds ar 1 vai -1). Ja viena mainīgā (x) vienādojumā ir viens vai vairāki termini, kas satur x kvadrātu, jūs parasti varat pārveidot pamata algebras operatoru vienādības zīmes vienā pusē uz 0 un ļaut cirvim utt. citā pusē.
- Piemēram, algebrisko vienādojumu 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 var samazināt līdz x + 6x + 9 = 0, kas ir kvadrātveida forma.
- Vienādojumi, kur x ir augstāks eksponents, piemēram, x, x utt. nevar būt kvadrātisks. Tie ir kvadrātiski, ceturtdaļīgi, ... ja vien vienādojumu nevar samazināt, izslēdzot terminus, kas satur x vai 3 spējas.
Ar kvadrātvienādojumiem, kad a = 1, mēs sadalāmies līdz (x + d) (x + e), kur d × e = c un d + e = b. Ja kvadrātvienādojums ir formā x + bx + c = 0 (citiem vārdiem sakot, ja koeficients x = 1), pastāv iespēja (bet nav pārliecības), ka mēs varam izmantot salīdzinoši ātru aprēķinu. šo vienādojumu ir viegli faktorizēt. Atrodiet divus skaitļus, kas vienādi ar c un summa ir vienāda ar b. Kad esat atradis d un e, aizstājiet tos ar šādu izteicienu: (x + d) (x + e). Ja reizina kopā, šie divi elementi dod mums iepriekš minēto kvadrātvienādojumu - citiem vārdiem sakot, tie ir vienādojuma faktori.
- Ņemsim, piemēram, kvadrātvienādojumu x + 5x + 6 = 0. 3 un 2 reizinājums ir 6 un tajā pašā laikā to kopsumma ir 5. Tāpēc mēs varam vienkārši pārveidot vienādojumu par (x + 3) ( x + 2).
- Šis pamata ātrais labojums būs nedaudz atšķirīgs, ja pats vienādojums būs nedaudz atšķirīgs:
  - Ja kvadrātvienādojums ir formā x-bx + c, jūsu atbilde būs šāda: (x - _) (x - _).
  - Ja tas ir formā x + bx + c, jūsu atbilde būs: (x + _) (x + _).
  - Ja tas ir x-bx-c, jūsu atbilde būs formā (x + _) (x - _).
- Piezīme: atstarpēs var būt frakcijas vai decimāldaļas. Piemēram, vienādojums x + (21/2) x + 5 = 0 sadalās līdz (x + 10) (x + 1/2).
Ja iespējams, veiciet faktoru analīzi, pārbaudot. Ticiet vai nē, bet ar nesarežģīto kvadrātvienādojumu viena no pieņemtajām faktorizācijas metodēm ir vienkārši apskatīt problēmu un pēc tam izsvērt visas iespējamās atbildes, līdz pareizā atbilde. To sauc arī par testa metodi.Ja vienādojumam ir forma ax + bx + c un a> 1, jūsu faktorizācijai būs forma (dx +/- _) (ex +/- _), kur d un e ir konstantes otrs nav vienāds ar a. d vai e (vai abi) maijs ir vienāds ar 1, lai gan tas ne vienmēr būs. Ja abi ir vienādi ar 1, jūs būtībā izmantojāt iepriekš parādīto ātro darbu.
- Apsveriet šo problēmu piemēru. No pirmā acu uzmetiena 3x - 8x + 4 izskatās diezgan biedējoši. Tomēr, tiklīdz esat sapratis, ka 3 ir tikai divi faktori (3 un 1), problēma kļūst vieglāka, jo mēs zinām, ka atbildei ir jābūt formā (3x +/- _) (x +/- _). Šajā gadījumā pareizu atbildi sniedz -2 aizstāšana abās atstarpēs. -2 × 3x = -6x un -2 × x = -2x. -6x un -2x kopā ir vienādi ar -8x. -2 × -2 = 4, tāpēc var redzēt, ka iekavās parsētie elementi dod mums sākotnējo vienādojumu.
Atrisiniet problēmu, aizpildot laukumu. Dažos gadījumos kvadrātiskos vienādojumus var ātri un viegli pavairot, izmantojot īpašu algebrisko identitāti. Jebkurš kvadrāta vienādojums formā x + 2xh + h = (x + h). Tāpēc, ja vienādojumā b ir divreiz lielāks par c kvadrātsakni, vienādojumu var sadalīt (x + (sqrt (c))).
- Piemēram, šai formai derēs vienādojums x + 6x + 9. 3 ir vienāds ar 9 un 3 × 2 ir vienāds ar 6. Tātad mēs zinām, ka šī vienādojuma faktorizācijas forma ir (x + 3) (x + 3) vai (x + 3).
Atrisiniet kvadrātvienādojumus ar faktoriem. Katrā ziņā, kad kvadrātiskā izteiksme ir faktorizēta, jūs varat atrast iespējamo atbildi uz x vērtību, katram faktoram piešķirot nulli un to atrisinot. Tā kā jūs meklējat x vērtību tā, lai vienādojums būtu nulle, jebkurš x, kura dēļ faktors ir nulle, būs iespējamais šī vienādojuma risinājums.
- Atgriezieties pie vienādojuma x + 5x + 6 = 0. Tas tiek sadalīts līdz (x + 3) (x + 2) = 0. Kad viens koeficients ir nulle, viss vienādojums kļūst nulle. Iespējamie x risinājumi ir skaitļi, kas padara (x + 3) un (x + 2) attiecīgi 0, -3 un -2.
Pārbaudiet savas atbildes - dažas var būt eksotiskas! Atrodot iespējamos x risinājumus, aizstājiet tos ar sākotnējo vienādojumu, lai noteiktu, vai tie ir pareizi vai nav. Dažreiz atbilde to atrod nekādu problēmu izraisa sākotnējā vienādojuma nulli, kad to aizstāj. Mēs saucam šos risinājumus Eksotisks un tos novērst.
- Aizstāsim -2 un -3 x + 5x + 6 = 0. Pirmkārt, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Jā, tāpēc -2 ir derīgs vienādojuma risinājums.
- Tagad mēģināsim ar -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Tas arī ir taisnība, un tāpēc -3 ir arī derīgs vienādojuma risinājums.
reklāma

3. metode no 3: analizējiet cita veida vienādojumus faktoros

Ja vienādojums ir a-b formā, sadaliet to līdz (a + b) (a-b). Divu mainīgo vienādojumu analizē atšķirīgi no kvadrātiskā pamata vienādojuma. Jebkurš a-b vienādojums, kurā a un b nav nulles, tiks sadalīts (a + b) (a-b).
- Piemēram, vienādojums 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Ja vienādojums ir a + 2ab + b formā, sadaliet to līdz (a + b). Ņemiet vērā, ka, ja trinomāls ir formā a-2ab + b, faktorizācijas forma nedaudz atšķirsies: (a-b).
- Vienādojumus 4x + 8xy + 4y var pārrakstīt kā 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Tagad mēs redzam, ka tā ir pareizā formā, un mēs varam droši teikt, ka šī vienādojuma faktorizācijas forma ir (2x + 2y).
Ja vienādojums ir a-b formā, sadaliet to līdz (a-b) (a + ab + b). Visbeidzot jāsaka, ka kubikvienādojumus un vēl augstākas kārtas vienādojumus var faktorizēt. Tomēr analīzes process ātri kļūs neticami sarežģīts.
- Piemēram, 8x - 27y sadalās līdz (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
reklāma

Padoms

a-b var faktorizēt, un a + b nevar.
Paturiet prātā, kā ņemt vērā konstantes - tas var būt noderīgi.
Pievērsiet uzmanību frakcijām faktorizācijas procesā, rīkojieties pareizi un atbilstoši.
Izmantojot x + bx + (b / 2) trīskāju, tā faktorizācija būtu (x + (b / 2)) (jūs varētu saskarties ar šo situāciju, aizpildot kvadrātu).
Atcerieties, ka a0 = 0 (rekvizīts reizināts ar nulli).