Kā sadalīt matricas

Saturs

Īss kopsavilkums
Soļi
1. daļa no 3: Matricu dalāmības pārbaude
2. daļa no 3: Apgrieztās matricas atrašana
3. daļa no 3: Matricas reizināšana
Padomi
Brīdinājumi
Papildu raksti

Ja jūs zināt, kā reizināt divas matricas, varat sākt matricu “dalīšanu”. Vārds “dalījums” ir iekļauts pēdiņās, jo matricas faktiski nevar sadalīt. Sadalīšanas operāciju aizstāj ar vienas matricas reizināšanas operāciju ar matricu, kas ir otrās matricas apgrieztais. Vienkāršības labad apsveriet piemēru ar veseliem skaitļiem: 10 ÷ 5. Atrodiet savstarpējo vērtību 5: 5 vai /₅, un pēc tam aizstājiet dalīšanu ar reizināšanu: 10 x 5; dalīšanas un reizināšanas rezultāts būs vienāds. Tāpēc tiek uzskatīts, ka dalīšanu var aizstāt ar reizināšanu ar apgriezto matricu. Parasti šādus aprēķinus izmanto, lai atrisinātu lineāro vienādojumu sistēmas.

Īss kopsavilkums

Jūs nevarat sadalīt matricas. Dalīšanas vietā vienu matricu reizina ar otrās matricas apgriezto vērtību. Divu matricu "dalījums" [A] ÷ [B] tiek rakstīts šādi: [A] * [B] vai [B] * [A].
Ja matrica [B] nav kvadrātveida vai ja tās noteicējs ir 0, pierakstiet "nav viennozīmīga risinājuma". Pretējā gadījumā atrodiet matricas [B] noteicēju un pārejiet pie nākamās darbības.
Atrodiet apgriezto: [B].
Reiziniet matricas, lai atrastu [A] * [B] vai [B] * [A]. Paturiet prātā, ka matricu reizināšanas secība ietekmē gala rezultātu (tas ir, rezultāti var atšķirties).

Soļi

1. daļa no 3: Matricu dalāmības pārbaude

1 Izprotiet matricu "sadalījumu". Patiesībā matricas nevar sadalīt. Nav tādas matemātiskas darbības kā “vienas matricas dalīšana ar otru”. Sadalījumu aizstāj, reizinot vienu matricu ar otrās matricas apgriezto vērtību. Tas ir, apzīmējums [A] ÷ [B] nav pareizs, tāpēc tas tiek aizstāts ar šādu apzīmējumu: [A] * [B]. Tā kā skalāro vērtību gadījumā abi ieraksti ir līdzvērtīgi, teorētiski mēs varam runāt par matricu "sadalīšanu", bet tomēr labāk ir izmantot pareizo terminoloģiju.
- Ņemiet vērā, ka [A] * [B] un [B] * [A] ir dažādas darbības. Lai atrastu visus iespējamos risinājumus, var būt nepieciešams veikt abas darbības.
- Piemēram, tā vietā ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ pierakstīt ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Jums var nākties aprēķināt ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 un 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ lai iegūtu atšķirīgu rezultātu.
2 Pārliecinieties, vai matrica, ar kuru jūs “dalāt” otru matricu, ir kvadrātveida. Lai apgrieztu matricu otrādi (atrodiet apgriezto matricu), tai jābūt kvadrātveida, tas ir, ar vienādu rindu un kolonnu skaitu. Ja apgrieztā matrica nav apgriezta, nav noteikta risinājuma.
- Atkal, matricas šeit nav "dalāmas". Darbībā [A] * [B] aprakstītais nosacījums attiecas uz matricu [B]. Mūsu piemērā šis nosacījums attiecas uz matricu ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Matricu, ko var apgriezt, sauc par nedeģenerētu vai regulāru. Matricu, kuru nevar apgriezt, sauc par deģenerātu vai vienskaitli.
3 Pārbaudiet, vai abas matricas var reizināt. Lai reizinātu divas matricas, kolonnu skaitam pirmajā matricā jābūt vienādam ar rindu skaitu otrajā matricā. Ja šis nosacījums nav izpildīts ierakstā [A] * [B] vai [B] * [A], risinājuma nav.
- Piemēram, ja matricas [A] izmērs ir 4 x 3 un matricas [B] izmērs ir 2 x 2, risinājuma nav. Jūs nevarat reizināt [A] * [B], jo 4 × 2, un jūs nevarat reizināt [B] * [A], jo 2 × 3.
- Ņemiet vērā, ka apgrieztajā matricā [B] vienmēr ir tāds pats rindu un kolonnu skaits kā sākotnējā matricā [B]. Nav nepieciešams atrast apgriezto matricu, lai pārbaudītu, vai divas matricas var reizināt.
- Mūsu piemērā abu matricu izmērs ir 2 x 2, tāpēc tās var reizināt jebkurā secībā.
4 Atrodiet 2 × 2 matricas noteicēju. Atcerieties: matricu var apgriezt tikai tad, ja tās noteicējs nav nulle (pretējā gadījumā matricu nevar apgriezt). Lūk, kā atrast 2 x 2 matricas noteicēju:
- 2 x 2 matrica: matricas noteicējs ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ ir vienāds ar ad - bc. Tas ir, no galvenās diagonāles elementu produkta (iet caur augšējo kreiso un apakšējo labo stūri) atņemiet otras diagonāles elementu izstrādājumus (iet caur augšējo labo un apakšējo kreiso stūri).
- Piemēram, matricas noteicējs ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ ir vienāds ar (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Noteicošais ir nulle, tāpēc šo matricu var apgriezt.
5 Atrodiet lielākās matricas noteicēju. Ja matricas izmērs ir 3 x 3 vai vairāk, determinantu ir nedaudz grūtāk aprēķināt.
- 3 x 3 matrica: atlasiet jebkuru vienumu un izsvītrojiet rindu un kolonnu, kurā tā atrodas.Atrodiet iegūtās 2 × 2 matricas noteicēju un pēc tam reiziniet to ar izvēlēto elementu; norādiet noteicēja zīmi īpašā tabulā. Atkārtojiet šo procesu pārējiem diviem vienumiem, kas atrodas vienā rindā vai kolonnā ar atlasīto vienumu. Pēc tam atrodiet saņemto (trīs) noteicošo faktoru summu. Lai uzzinātu vairāk par to, kā atrast 3 x 3 matricas noteicēju, izlasiet šo rakstu.
- Lielas matricas: šādu matricu noteicēju vislabāk meklēt, izmantojot grafisko kalkulatoru vai programmatūru. Metode ir līdzīga 3 × 3 matricas noteicēja atrašanas metodei, taču manuāli to lietot ir diezgan apnicīgi. Piemēram, lai atrastu 4 x 4 matricas noteicēju, jums jāatrod četru 3 x 3 matricu noteicēji.
6 Turpiniet aprēķinus. Ja matrica nav kvadrātveida vai ja tās noteicējs ir vienāds ar nulli, uzrakstiet "nav viennozīmīga risinājuma", tas ir, aprēķina process ir pabeigts. Ja matrica ir kvadrātveida un tai nav nulles determinanta, pārejiet uz nākamo sadaļu.

2. daļa no 3: Apgrieztās matricas atrašana

1 Apmainiet 2 x 2 matricas galvenās diagonāles elementus. Ņemot vērā 2 × 2 matricu, izmantojiet ātro apgriezto metodi. Vispirms nomainiet augšējo kreiso elementu un apakšējo labo elementu. Piemēram:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Piezīme: lielākā daļa cilvēku izmanto kalkulatorus, lai apgrieztu 3 x 3 (vai lielāku) matricu. Ja jums tas jādara manuāli, pārejiet uz šīs sadaļas beigām.
2 Nemainiet atlikušos divus elementus, bet mainiet to zīmi. Tas ir, reiziniet augšējo labo elementu un apakšējo kreiso elementu ar -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Atrodiet noteicēja reciproku. Šīs matricas noteicējs tika atrasts iepriekšējā sadaļā, tāpēc mēs to vēlreiz neaprēķināsim. Determinanta apgriezto daļu raksta šādi: 1 / (determinants):
- Mūsu piemērā noteicējs ir 13. Reversā vērtība: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Reiziniet iegūto matricu ar determinanta reciproku. Reiziniet katru jaunās matricas elementu ar determinanta apgriezto vērtību. Galīgā matrica būs apgrieztā sākotnējā 2 x 2 matrica:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} un { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} un { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Pārbaudiet, vai aprēķini ir pareizi. Lai to izdarītu, reiziniet sākotnējo matricu ar apgriezto. Ja aprēķini ir pareizi, sākotnējās matricas reizinājums ar apgriezto formu dos identitātes matricu: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Ja tests bija veiksmīgs, pārejiet uz nākamo sadaļu.
- Mūsu piemērā: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} un { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} un { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Lai iegūtu papildinformāciju par matricu pavairošanu, izlasiet šo rakstu.
- Piezīme: matricas reizināšanas darbība nav komutatīva, tas ir, svarīga ir matricu secība. Bet, ja sākotnējo matricu reizina ar apgriezto, jebkura secība noved pie identitātes matricas.
6 Atrodiet apgriezto 3 x 3 matricu (vai lielāks). Ja esat jau iepazinies ar šo procesu, labāk ir izmantot grafisko kalkulatoru vai īpašu programmatūru. Ja apgrieztā matrica jāatrod manuāli, process ir īsi aprakstīts zemāk:
- Pievienojiet identitātes matricu I sākotnējās matricas labajā pusē. Piemēram, [B] → [B | Es]. Identitātes matricai visi galvenās diagonāles elementi ir vienādi ar 1 un visi pārējie elementi ir vienādi ar 0.
- Vienkāršojiet matricu tā, lai tās kreisā puse kļūtu pakāpiena; turpiniet vienkāršošanu, lai kreisā puse kļūtu par identitātes matricu.
- Pēc vienkāršošanas matricai būs šāda forma: [I | B]. Tas ir, tā labā puse ir sākotnējās matricas apgrieztais.

3. daļa no 3: Matricas reizināšana

1 Pierakstiet divus iespējamos izteicienus. Divu skalāru reizināšanas darbība ir komutatīva, tas ir, 2 x 6 = 6 x 2.Matricas reizināšanas gadījumā tas tā nav, tāpēc jums, iespējams, būs jāatrisina divas izteiksmes:
- x = [A] * [B] ir vienādojuma risinājums x[B] = [A].
- x = [B] * [A] ir [B] vienādojuma risinājumsx = [A].
- Veiciet katru matemātisko darbību abās vienādojuma pusēs. Ja [A] = [C], tad [B] [A] ≠ [C] [B], jo [B] atrodas pa kreisi no [A], bet pa labi no [C].
2 Nosakiet galīgās matricas lielumu. Galīgās matricas lielums ir atkarīgs no reizināto matricu lieluma. Rindu skaits galīgajā matricā ir vienāds ar rindu skaitu pirmajā matricā, un kolonnu skaits galīgajā matricā ir vienāds ar kolonnu skaitu otrajā matricā.
- Mūsu piemērā abu matricu lielums ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ un ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} un { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} un { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ ir 2 x 2, tāpēc sākotnējās matricas izmērs būs 2 x 2.
- Apsveriet sarežģītāku piemēru: ja matricas [A] izmērs ir 4 x 3, un matricas [B] izmērs ir 3 x 3, tad galīgā matrica [A] * [B] būs 4 x 3.
3 Atrodiet pirmā elementa vērtību. Izlasiet šo rakstu vai atcerieties šādas pamata darbības:
- Lai atrastu galīgās matricas [A] [B] pirmo elementu (pirmo rindu, pirmo kolonnu), aprēķiniet pirmās matricas rindas [A] elementu un pirmās [B] kolonnas elementu punktu reizinājumu. ]. 2 x 2 matricas gadījumā punktu reizinājumu aprēķina šādi: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Mūsu piemērā: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} un { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} un { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Tādējādi gala matricas pirmais elements būs elements:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Turpiniet aprēķināt punktu reizinājumus, lai atrastu katru galīgās matricas elementu. Piemēram, elements, kas atrodas otrajā rindā un pirmajā kolonnā, ir vienāds ar matricas otrās rindas [A] un matricas [B] pirmās kolonnas punktu reizinājumu. Atlikušos priekšmetus mēģiniet atrast pats. Jums vajadzētu iegūt šādus rezultātus:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} un { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} un { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Ja jums ir jāatrod cits risinājums: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} un { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} un { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13. un 26. 39. Un 13. end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 beigas {pmatrix}}}$

Padomi

Matricu var iedalīt skalārā; šim nolūkam katrs matricas elements ir sadalīts ar skalāru.
- Piemēram, ja matrica ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ dalot ar 2, jūs iegūstat matricu ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Brīdinājumi

Kalkulators ne vienmēr sniedz absolūti precīzus rezultātus, kad runa ir par matricas aprēķiniem. Piemēram, ja kalkulators apgalvo, ka vienums ir ļoti mazs skaitlis (piemēram, 2E), vērtība, visticamāk, ir nulle.