Saturs

• Soļi
• 1. daļa no 3: Momentāna ātruma aprēķināšana
• 2. daļa no 3: Momentālā ātruma grafiskais novērtējums
• 3. daļa no 3: piemēri
• Padomi

Ātrums ir ātrums, ar kādu objekts pārvietojas noteiktā virzienā. Vispārējiem mērķiem objekta (v) ātruma noteikšana ir vienkāršs uzdevums: pārvietojums (-i) noteiktā (-os) laikā (-os) jāsadala ar šo laiku (t), tas ir, izmantojiet formulu v = s / t. Tomēr šādā veidā tiek iegūts vidējais ķermeņa ātrums. Izmantojot dažus aprēķinus, jūs varat atrast ķermeņa ātrumu jebkurā ceļa posmā. Šo ātrumu sauc tūlītējs ātrums un to aprēķina pēc formulas v = (ds) / (dt), tas ir, tas ir atvasinājums no formulas ķermeņa vidējā ātruma aprēķināšanai.

Soļi

1. daļa no 3: Momentāna ātruma aprēķināšana

1. 1 Sāciet ar vienādojumu. Lai aprēķinātu momentāno ātrumu, ir jāzina vienādojums, kas apraksta ķermeņa kustību (tās stāvokli noteiktā laika brīdī), tas ir, šāds vienādojums vienā pusē ir s (ķermeņa kustība), un otrā pusē ir termini ar mainīgo t (laiks). Piemēram:
   

   s = -1,5 t + 10 t + 4

   
   
   • Šajā vienādojumā:

     Pārvietot = s... Kustība ir objekta ceļš. Piemēram, ja ķermenis ir pārvietojies 10 m uz priekšu un 7 m atpakaļ, tad kopējā ķermeņa kustība ir 10 - 7 = 3 m (un pie 10 + 7 = 17 m).

     Laiks = t... Parasti mēra sekundēs.

2. 2 Aprēķiniet vienādojuma atvasinājumu. Lai atrastu ķermeņa momentāno ātrumu, kura pārvietojumus raksturo iepriekš minētais vienādojums, jums jāaprēķina šī vienādojuma atvasinājums. Atvasinājums ir vienādojums, kas aprēķina grafika slīpumu jebkurā vietā (jebkurā laikā). Lai atrastu atvasinājumu, diferencējiet funkciju šādi: ja y = a * x, tad atvasinājums = a * n * x... Šis noteikums attiecas uz katru polinoma locekli.
   • Citiem vārdiem sakot, katra termina atvasinājums ar mainīgo t ir vienāds ar koeficienta reizinājumu (mainīgā priekšā) un mainīgā lielumu, kas reizināts ar mainīgo, līdz jaudai, kas vienāda ar sākotnējo jaudu mīnus 1. termins (termins bez mainīga, tas ir, skaitlis) pazūd, jo tas tiek reizināts ar 0. Mūsu piemērā:
     

     s = -1,5 t + 10 t + 4
     (2) -1,5 t + (1) 10 t + (0) 4 t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     
3. 3 Aizstājiet "s" ar "ds / dt", lai norādītu, ka jaunais vienādojums ir sākotnējā vienādojuma atvasinājums (tas ir, s ir atvasinājums no t). Atvasinājums ir grafika slīpums noteiktā punktā (noteiktā laika brīdī). Piemēram, lai atrastu līnijas slīpumu s = -1,5t + 10t + 4 pie t = 5, vienkārši pievienojiet 5 atvasinājuma vienādojumam.
   • Mūsu piemērā atvasinājuma vienādojumam vajadzētu izskatīties šādi:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 4 Aizstājiet atbilstošo t vērtību atvasinājuma vienādojumā, lai atrastu momentāno ātrumu noteiktā laika brīdī. Piemēram, ja vēlaties atrast momentāno ātrumu pie t = 5, vienkārši pievienojiet 5 (t vietā) atvasinājuma vienādojumam ds / dt = -3 + 10. Pēc tam atrisiniet vienādojumu:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 m / s

   
   
   • Pievērsiet uzmanību momentānā ātruma mērvienībai: m / s. Tā kā mums ir norādīta pārvietojuma vērtība metros, un laiks ir sekundēs, un ātrums ir vienāds ar pārvietojuma un laika attiecību, mērvienība m / s ir pareiza.

2. daļa no 3: Momentālā ātruma grafiskais novērtējums

1. 1 Uzzīmējiet ķermeņa kustību. Iepriekšējā nodaļā jūs aprēķinājāt momentāno ātrumu, izmantojot formulu (atvasinājuma vienādojums, kas ļauj noteikt grafika slīpumu noteiktā punktā). Izveidojot ķermeņa kustības grafiku, jūs varat atrast tā slīpumu jebkurā vietā un tāpēc noteikt momentāno ātrumu noteiktā laika brīdī.
   • Y ass ir kustība, bet X ass-laiks. Punktu (x, y) koordinātas iegūst, aizstājot dažādas t vērtības sākotnējā pārvietojuma vienādojumā un aprēķinot atbilstošās s vērtības.
   • Grafiks var nokrist zem X ass.Ja ķermeņa kustības grafiks nokrīt zem X ass, tas nozīmē, ka ķermenis pārvietojas pretēji kustības virzienam. Parasti grafiks nepārsniedz Y asi (negatīvās x vērtības)-mēs nemērām objektu ātrumu, kas pārvietojas atpakaļ laikā!
2. 2 Diagrammā (līknē) izvēlieties punktu P un tam tuvu esošo punktu Q. Lai atrastu grafika slīpumu punktā P, mēs izmantojam robežas jēdzienu. Robeža - stāvoklis, kurā secantam, kas novilkts caur 2 punktiem P un Q, kas atrodas uz līknes, ir tendence uz nulli.
   • Piemēram, apsveriet punktus P (1,3) un Q (4.7) un aprēķina momentāno ātrumu punktā P.
3. 3 Atrodiet līnijas segmenta PQ slīpumu. Segmenta PQ slīpums ir vienāds ar punktu P un Q koordinātu "y" vērtību starpības attiecību pret punktu P un koordinātu "x" vērtību starpību Q. Citiem vārdiem sakot, H = (y_Q - g_Lpp) / (x_Q - x_Lpp), kur H ir segmenta PQ slīpums. Mūsu piemērā segmenta PQ slīpums ir:
   

   H = (y_Q - g_Lpp) / (x_Q - x_Lpp)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1.33

4. 4 Atkārtojiet procesu vairākas reizes, tuvinot Q punktu P punktam. Jo mazāks attālums starp diviem punktiem, jo ​​tuvāk iegūto segmentu slīpums ir grafika slīpumam punktā P. Mūsu piemērā mēs veiksim aprēķinus punktam Q ar koordinātām (2,4,8), (1,5,3.95 ) un (1.25,3.49) (punkta P koordinātas nemainās):
   

   Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1.8
   
   Q = (1.5,3.95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (.95) / (. 5) = 1.9
   
   Q = (1.25,3.49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (.49) / (. 25) = 1.96

5. 5 Jo mazāks attālums starp punktiem P un Q, jo tuvāk H vērtība ir grafika slīpumam punktā P. Ar ārkārtīgi mazu attālumu starp punktiem P un Q H vērtība būs vienāda ar slīpumu grafiks punktā P Tā kā mēs nevaram izmērīt vai aprēķināt ārkārtīgi mazo attālumu starp diviem punktiem, grafiskā metode sniedz aprēķināto grafika slīpuma vērtību P punktā.
   • Mūsu piemērā, tuvojoties Q uz P, mēs saņēmām šādas H vērtības: 1.8; 1.9 un 1.96. Tā kā šiem skaitļiem ir tendence uz 2, mēs varam teikt, ka grafika slīpums punktā P ir vienāds ar 2.
   • Atcerieties, ka grafika slīpums noteiktā punktā ir vienāds ar funkcijas atvasinājumu (pēc kura tiek veidota šī diagramma) šajā punktā. Grafikā attēlota ķermeņa kustība laika gaitā, un, kā atzīmēts iepriekšējā sadaļā, ķermeņa momentālais ātrums ir vienāds ar šī ķermeņa kustības vienādojuma atvasinājumu. Tādējādi mēs varam apgalvot, ka pie t = 2 momentānais ātrums ir vienāds ar 2 mps (tas ir aprēķins).

3. daļa no 3: piemēri

1. 1 Aprēķiniet momentāno ātrumu pie t = 4, ja ķermeņa kustību raksturo vienādojums s = 5t - 3t + 2t + 9. Šis piemērs ir līdzīgs pirmās sadaļas problēmai ar vienīgo atšķirību, ka vienādojums ir trešās kārtas (nevis otrās).
   • Pirmkārt, mēs aprēķinām šī vienādojuma atvasinājumu:
     

     s = 5 t - 3 t + 2 t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Tagad mēs atvasinājuma vienādojumā aizstājam vērtību t = 4:
     

     s = 15 t - 6 t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 m / s

2. 2 Novērtēsim momentānā ātruma vērtību punktā ar koordinātām (1,3) funkcijas s = 4t - t grafikā. Šajā gadījumā punktam P ir koordinātas (1,3), un ir jāatrod vairākas punkta Q koordinātas, kas atrodas tuvu punktam P. Tad mēs aprēķinām H un atrodam aprēķinātās momentānās ātruma vērtības.
   • Vispirms atrodiet Q koordinātas t = 2, 1,5, 1,1 un 1,01.
     

     s = 4 t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, tātad Q = (2,14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, tātad Q = (1,5, 7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, tātad Q = (1.1, 3.74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, tātad Q = (1.01,3.0704)

   • Tagad aprēķināsim H:
     

     Q = (2.14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5, 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (. 5) = 9
     
     Q = (1.1, 3.74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (.74) / (. 1) = 7.3
     
     Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     H = (.0704) / (.01) = 7.04

   • Tā kā iegūtās H vērtības ir 7, mēs varam teikt, ka ķermeņa momentālais ātrums punktā (1.3.) Ir vienāds ar 7 m / s (paredzamā vērtība).

Padomi

• Lai atrastu paātrinājumu (ātruma izmaiņas laika gaitā), izmantojiet pirmās daļas metodi, lai iegūtu pārvietošanas funkcijas atvasinājumu. Pēc tam atkal ņemiet iegūtā atvasinājuma atvasinājumu. Tas sniegs jums vienādojumu paātrinājuma noteikšanai noteiktā laika posmā - viss, kas jums jādara, ir pievienojiet laika vērtību.
• Vienādojums, kas apraksta y (pārvietojuma) atkarību no x (laika), var būt ļoti vienkāršs, piemēram: y = 6x + 3. Šajā gadījumā slīpums ir nemainīgs, un, lai to atrastu, nav jāņem atvasinājums. Saskaņā ar līniju grafiku teoriju to slīpums ir vienāds ar mainīgā x koeficientu, tas ir, mūsu piemērā = 6.
• Kustība ir līdzīga attālumam, taču tai ir noteikts virziens, kas padara to par vektoru vērtību. Pārvietojums var būt negatīvs, bet attālums var būt tikai pozitīvs.