Saturs

• Soļi
• 1. daļa no 3: Skaitļu un kvadrātsakņu kvadrātu izpratne
• 2. daļa no 3: Garās dalīšanas algoritma izmantošana
• 3. daļa no 3: Ātra nepilnīgu kvadrātu skaitīšana
• Padomi

Lai gan biedējošais kvadrātsaknes simbola izskats var likt satriekties kādam, kurš neprot matemātiku, kvadrātsaknes problēmas nav tik sarežģītas, kā sākotnēji varētu šķist. Vienkāršas kvadrātsaknes problēmas bieži var atrisināt tikpat viegli kā parastās reizināšanas vai dalīšanas problēmas. No otras puses, sarežģītāki uzdevumi var prasīt zināmas pūles, taču ar pareizu pieeju pat tie jums nebūs grūti. Sāciet sakņu risināšanu jau šodien, lai apgūtu šo radikāli jauno matemātikas prasmi!

Soļi

1. daļa no 3: Skaitļu un kvadrātsakņu kvadrātu izpratne

1. 1 Kvadrējiet skaitli, reizinot to ar sevi. Lai saprastu kvadrātsaknes, vislabāk ir sākt ar skaitļu kvadrātu. Skaitļu salikšana kvadrātā ir diezgan vienkārša: skaitļa kvadrātā nozīmē to reizināt. Piemēram, 3 kvadrāts ir tas pats, kas 3 × 3 = 9, un 9 kvadrāts ir tāds pats kā 9 × 9 = 81. Kvadrāti tiek atzīmēti, rakstot mazo skaitli “2” pa labi virs kvadrāta skaitļa. Piemērs: 3, 9, 100 utt.
   • Izmēģiniet vēl dažus skaitļus, lai izmēģinātu šo koncepciju. Atcerieties, ka skaitļa kvadrāts nozīmē, ka skaitlis jāreizina ar sevi. To var izdarīt pat negatīviem skaitļiem. Šajā gadījumā rezultāts vienmēr būs pozitīvs. Piemēram: -8 = -8 × -8 = 64.
2. 2 Runājot par kvadrātsaknēm, process tiek apgriezts kvadrātā. Saknes simbols (√, saukts arī par radikālu) būtībā nozīmē simbola pretējo. Redzot radikālu, jums jājautā sev: "Kāds skaitlis var reizināt pats, lai iegūtu skaitli zem saknes?" Piemēram, ja redzat √ (9), tad jāatrod skaitlis, kas kvadrātā dotu skaitli deviņi. Mūsu gadījumā šis skaitlis būtu trīs, jo 3 = 9.
   • Apsveriet citu piemēru un atrodiet sakni 25 (√ (25)). Tas nozīmē, ka mums jāatrod skaitlis, kas mums dotu kvadrātu 25. Tā kā 5 = 5 × 5 = 25, mēs varam teikt, ka √ (25) = 5.
   • Varat arī uzskatīt to par kvadrāta “atsaukšanu”. Piemēram, ja mums jāatrod √ (64), kvadrātsakne no 64, tad domāsim par šo skaitli kā 8. Tā kā saknes simbols "atceļ" kvadrātu, mēs varam teikt, ka √ (64) = √ (8) ) = 8.
3. 3 Ziniet atšķirību starp perfektu un ne perfektu kvadrātu. Līdz šim atbildes uz mūsu problēmām ar sakni ir bijušas labas un apaļas, taču tas ne vienmēr notiek. Atbildes uz kvadrātsaknes problēmām var būt ļoti gari un neērti decimāldaļskaitļi. Skaitļus, kuru sakne ir veseli skaitļi (citiem vārdiem sakot, skaitļus, kas nav daļskaitļi) sauc par perfektiem kvadrātiem. Visi iepriekš minētie piemēri (9, 25 un 64) ir ideāli kvadrāti, jo to sakne būs vesels skaitlis (3,5 un 8).
   • No otras puses, skaitļus, kas, aiznesot saknē, nesniedz veselu skaitli, sauc par nepilniem kvadrātiem. Ja jūs ievietojat vienu no šiem skaitļiem zem saknes, jūs saņemat skaitli ar decimāldaļu. Dažreiz šis skaitlis var būt diezgan garš. Piemēram, √ (13) = 3,605551275464 ...
4. 4 Iegaumējiet pirmos 1-12 pilnus kvadrātus. Kā jūs droši vien jau pamanījāt, atrast pilnīga kvadrāta sakni ir diezgan vienkārši! Tā kā šie uzdevumi ir tik vienkārši, ir vērts atcerēties pirmo duča pilnīgo kvadrātu saknes. Jūs saskarsities ar šiem skaitļiem vairāk nekā vienu reizi, tāpēc veltiet nedaudz laika, lai tos iegaumētu agri un ietaupītu laiku nākotnē.
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144
5. 5 Vienkāršojiet saknes, ja iespējams, noņemiet no tās pilnus laukumus. Nepilna kvadrāta saknes atrašana dažkārt var būt sarežģīta, it īpaši, ja neizmantojat kalkulatoru (skatiet tālāk esošo sadaļu, lai uzzinātu dažus trikus, lai atvieglotu šo procesu). Tomēr jūs bieži varat vienkāršot numuru zem saknes, lai būtu vieglāk strādāt. Lai to izdarītu, jums vienkārši jāaprēķina skaitlis zem saknes un pēc tam jāatrod koeficienta sakne, kas ir ideāls kvadrāts, un jāraksta ārpus saknes. Tas ir vieglāk, nekā izklausās.Plašāku informāciju lasiet tālāk.
   • Pieņemsim, ka mums jāatrod kvadrātsakne 900. No pirmā acu uzmetiena tas šķiet diezgan biedējošs uzdevums! Tomēr nebūs tik grūti, ja skaitli 900 dalīsim ar faktoriem. Reizinātāji ir skaitļi, kas tiek reizināti viens ar otru, lai iegūtu jaunu skaitli. Piemēram, skaitli 6 var iegūt, reizinot 1 × 6 un 2 × 3, tā koeficienti būs skaitļi 1, 2, 3 un 6.
   • Tā vietā, lai meklētu sakni 900, kas ir nedaudz sarežģīti, rakstīsim 900 kā 9 × 100. Tagad, kad 9, kas ir ideāls kvadrāts, ir atdalīts no 100, mēs varam atrast tā sakni. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Citiem vārdiem sakot, √ (900) = 3√ (100).
   • Mēs pat varam iet vēl tālāk, dalot 100 ar diviem faktoriem, 25 un 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Tātad mēs varam teikt, ka √ (900) = 3 (10) = 30
6. 6 Izmantojiet iedomātus skaitļus, lai atrastu negatīvā skaitļa sakni. Pajautājiet sev, kāds skaitlis, reizinot ar to, dos -16? Tas nav 4 vai -4, jo, saliekot šos skaitļus, mēs iegūsim pozitīvu skaitli 16. Padoties? Faktiski saknes -16 vai jebkuru citu negatīvu skaitli nevar ierakstīt normālos skaitļos. Šajā gadījumā mums ir jāaizstāj iedomāti skaitļi (parasti burtu vai simbolu veidā), lai tie parādās negatīva skaitļa saknes vietā. Piemēram, mainīgo "i" parasti izmanto, lai sakņotu -1. Parasti negatīvā skaitļa sakne vienmēr būs iedomātais skaitlis (vai tajā iekļauts).
   • Jāapzinās, ka, lai gan iedomātus skaitļus nevar attēlot ar parastajiem skaitļiem, tos joprojām var uzskatīt par tādiem. Piemēram, negatīva skaitļa kvadrātsakni var kvadrātā iegūt, lai šie negatīvie skaitļi, tāpat kā jebkurš cits, iegūtu kvadrātsakni. Piemēram, i = -1

2. daļa no 3: Garās dalīšanas algoritma izmantošana

1. 1 Pierakstiet saknes problēmu kā garu sadalīšanas problēmu. Lai gan tas var aizņemt diezgan daudz laika, šādā veidā jūs varat atrisināt nepilnīgu kvadrātsaknes problēmu, neizmantojot kalkulatoru. Lai to izdarītu, mēs izmantosim risinājuma metodi (vai algoritmu), kas ir līdzīga (bet ne gluži vienāda) parastajai ilgajai dalīšanai.
   • Vispirms pierakstiet problēmu ar sakni tādā pašā formā kā ilgstošai sadalīšanai. Pieņemsim, ka mēs vēlamies atrast kvadrātsakni 6,45, kas nav gluži ideāls kvadrāts. Pirmkārt, mēs uzrakstīsim parasto kvadrātveida simbolu, un tad zem tā uzrakstīsim skaitli. Tālāk mēs virs skaitļa novilksim līniju, lai tā parādītos nelielā "kastītē", gluži kā garā dalījumā. Pēc tam mums ir sakne ar garu asti un 6,45 skaitlis zem tā.
   • Mēs rakstīsim ciparus virs saknes, tāpēc noteikti atstājiet tur brīvu vietu.
2. 2 Grupējiet skaitļus pa pāriem. Lai sāktu risināt uzdevumu, jums ir jāsaliek skaitļa cipari zem radikāļa pa pāriem, sākot ar komatu. Ja vēlaties, starp pāriem varat izdarīt nelielas atzīmes (piemēram, punktus, slīpas līnijas, komatus utt.), Lai izvairītos no neskaidrībām.
   • Mūsu piemērā skaitlis 6.45 ir jāsavieno pārī šādi: 6-, 45-00. Ņemiet vērā, ka kreisajā pusē ir "atlikušais" cipars - tas ir normāli.
3. 3 Atrodiet lielāko skaitli, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar pirmo "grupu". Sāciet ar pirmo numuru vai pāri kreisajā pusē. Izvēlieties lielāko skaitli, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar atlikušo “grupu”. Piemēram, ja grupā būtu 37, jūs izvēlētos skaitli 6, jo 6 = 36 37 un 7 = 49> 37. Uzrakstiet šo skaitli virs pirmās grupas. Šis būs pirmais numurs jūsu atbildē.
   • Mūsu piemērā pirmā grupa pie 6-, 45-00 būs skaitlis 6. Lielākais skaitlis, kas kvadrātā ir mazāks vai vienāds ar 6, ir 2 = 4. Ierakstiet skaitli 2 virs skaitļa 6 zem saknes .
4. 4 Divkāršojiet tikko uzrakstīto skaitli, pēc tam sakņojiet to un atņemiet. Ņemiet atbildes pirmo ciparu (tikko atrasto numuru) un dubultojiet to. Uzrakstiet rezultātu zem pirmās grupas un atņemiet, lai atrastu atšķirību. Nometiet nākamos pāris ciparus blakus atbildei. Visbeidzot, kreisajā pusē uzrakstiet savas atbildes pirmā cipara pēdējo divciparu un atstājiet atstarpi blakus.
   • Mūsu piemērā mēs vispirms dubultosim skaitli 2, kas ir pirmais skaitlis mūsu atbildē. 2 × 2 = 4.Tad mēs atņemam 4 no 6 (mūsu pirmā "grupa"), iegūstot 2. Tad mēs izlaižam nākamo grupu (45), lai iegūtu 245. Un visbeidzot, kreisajā pusē mēs atkal uzrakstīsim skaitli 4, atstājot nelielu atstarpi plkst. beigas, šeit šādi: 4_
5. 5 Lūdzu, aizpildiet tukšo vietu. Tad jums jāpievieno cipars ierakstītā numura labajā pusē, kas atrodas kreisajā pusē. Izvēlieties ciparu, reizinot to ar savu jauno numuru, jūs iegūtu lielāko iespējamo rezultātu, bet kurš būtu mazāks vai vienāds ar "izlaisto" skaitli. Piemēram, ja jūsu “izlaists” numurs ir 1700 un jūsu numurs kreisajā pusē ir 40_, jums ir jāieraksta numurs 4, jo 404 × 4 = 1616 1700, bet 405 × 5 = 2025. Cipars atrasts šajā solī un būs jūsu atbildes otrais cipars, tāpēc varat to uzrakstīt virs saknes zīmes.
   • Mūsu piemērā mums jāatrod skaitlis un jāraksta tas 4_ × _ atstarpēs, kas padarīs atbildi pēc iespējas lielāku, bet tomēr mazāku vai vienādu ar 245. Mūsu gadījumā tas ir 5. 45 × 5 = 225, savukārt 46 × 6 = 276
6. 6 Turpiniet izmantot tukšus ciparus, lai atrastu atbildi. Turpiniet risināt šo modificēto garo dalījumu, līdz sākat saņemt nulles, kad atņemat "izlaisto" skaitli, vai līdz iegūstat vēlamo precizitātes līmeni. Kad esat pabeidzis, numuri, kurus izmantojāt, aizpildot tukšās vietas katrā solī (plus pirmais skaitlis), veidos jūsu atbildes numuru.
   • Turpinot mūsu piemēru, no 245 atņemam 225, lai iegūtu 20. Tad mēs nometam nākamo skaitļu pāri 00, lai iegūtu 2000. Dubultojiet ciparu virs saknes zīmes. Mēs iegūstam 25 × 2 = 50. Atrisinot piemēru ar atstarpēm, 50_ × _ = / 2000, iegūstam 3. Šajā posmā virs radikāļa būs 253 rakstīts, un, atkārtojot šo procesu vēlreiz, mūsu nākamais skaitlis būs 9 .
7. 7 Pārvietojiet decimālo zīmi uz priekšu no sākotnējā dividenžu skaitļa. Lai pabeigtu atbildi, jums jāievieto komats pareizajā vietā. Par laimi, to ir diezgan viegli izdarīt. Viss, kas jums jādara, ir saskaņot to ar sākotnējo skaitļa punktu. Piemēram, ja skaitlis 49,8 atrodas zem saknes, starp diviem cipariem virs deviņiem un astoņiem jums jāpieliek punkts.
   • Mūsu piemērā zem radikāļa ir 6,45, tāpēc mēs vienkārši pārvietojam periodu un ievietojam to savā atbildē starp skaitļiem 2 un 5 un iegūstam atbildi 2,539.

3. daļa no 3: Ātra nepilnīgu kvadrātu skaitīšana

1. 1 Atrodiet nepilnus kvadrātus, tos saskaitot. Kad esat iegaumējis pilnus kvadrātus, nepilnīgu kvadrātu saknes atrašana kļūst daudz vienkāršāka. Tā kā jūs jau zināt duci perfektu kvadrātu, jebkuru skaitli, kas ietilpst apgabalā starp šiem diviem pilniem kvadrātiem, var atrast, samazinot visu līdz aptuvenam skaitlim starp šīm vērtībām. Sāciet, atrodot divus pilnus kvadrātus, starp kuriem ir jūsu numurs. Pēc tam nosakiet, kuram no šiem skaitļiem jūsu numurs ir tuvāk.
   • Piemēram, pieņemsim, ka mums jāatrod kvadrātsakne no 40. Tā kā mēs iegaumējām perfektus kvadrātus, varam teikt, ka 40 ir no 6 līdz 7 vai 36 līdz 49. Tā kā 40 ir lielāks par 6, tā sakne būs lielāka par 6 , un, tā kā tas ir mazāks par 7, tā sakne būs arī mazāka par 7. 40 ir nedaudz tuvāk 36 nekā 49, tāpēc atbilde, visticamāk, būs nedaudz tuvāk 6. Turpmākajos soļos mēs sašaurināsim savu atbildi.
2. 2 Saskaitiet kvadrātsakni līdz pirmajai zīmei aiz komata. Kad esat izvēlējies divus pilnus kvadrātus, starp kuriem ir jūsu numurs, tas viss ir atkarīgs no jūsu skaita, līdz saņemat vēlamo atbildi. Jo vairāk jūs skaitīsit, jo precīzāka būs jūsu atbilde. Sāciet, izvēloties, kur atbildē ievietot aiz komata. Tam nav jābūt pareizam, taču tas ietaupīs jūsu laiku, ja izmantosit loģiku un pieliksiet punktu iespējami tuvu pareizajai atbildei.
   • Mūsu piemērā saprātīgs kvadrātsaknes aprēķins no 40 varētu būt 6,4, jo no iepriekš minētās informācijas mēs zinām, ka atbilde ir tuvāk 6 nekā 7.
3. 3 Reiziniet aptuveno skaitli pats. Nākamā lieta, kas jums jādara, ir kvadrātveida aptuvenais skaitlis. Visticamāk, jums nepaveiksies un nesaņemsiet sākotnējo numuru. Tas būs nedaudz lielāks vai nedaudz mazāks.Ja rezultāts ir pārāk augsts, mēģiniet vēlreiz, bet ar nedaudz zemāku novērtējumu (un otrādi, ja rezultāts ir pārāk zems).
   • Reiziniet 6.4 ar sevi, un jūs iegūsit 6,4 x 6,4 = 40,96, kas ir nedaudz vairāk nekā sākotnējais skaitlis.
   • Tā kā mūsu atbilde izrādījās lielāka, mums vajadzētu reizināt skaitli par desmito daļu mazāk ar aptuveno un iegūt šādu rezultātu: 6,3 × 6,3 = 39,69. Tas ir nedaudz mazāk nekā sākotnējais skaitlis. Tas nozīmē, ka kvadrātsakne no 40 ir no 6,3 līdz 6,4. Atkal, tā kā 39,69 ir tuvāk 40 nekā 40,96, mēs zinām, ka kvadrātsakne būs tuvāk 6,3 nekā 6,4.
4. 4 Turpiniet aprēķināt. Šajā brīdī, ja esat apmierināts ar savu atbildi, varat vienkārši izdarīt pirmo minējumu. Tomēr, ja vēlaties precīzāku atbildi, viss, kas jums jādara, ir izvēlēties aptuvenu vērtību ar divām zīmēm aiz komata, kas šo aptuveno vērtību ievieto starp pirmajiem diviem cipariem. Turpinot šo skaitīšanu, par savu atbildi varat iegūt trīs, četras vai vairākas zīmes aiz komata. Tas viss ir atkarīgs no tā, cik tālu jūs vēlaties iet.
   • Piemēram, izvēlēsimies 6,33 kā aptuvenu vērtību ar divām zīmēm aiz komata. Reiziniet 6.33 ar sevi, lai iegūtu 6,33 × 6,33 = 40,0689. tā kā šis skaitlis ir nedaudz lielāks par mūsu skaitu, ņemsim mazāku skaitli, piemēram, 6.32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Šī atbilde ir nedaudz mazāka par mūsu skaitu, tāpēc mēs zinām, ka precīza kvadrātsakne ir no 6,32 līdz 6,33. Ja mēs vēlētos turpināt, mēs turpinātu izmantot to pašu pieeju, lai iegūtu atbildi, kas kļūst arvien precīzāka.

Padomi

• Lai ātri atrastu risinājumu, izmantojiet kalkulatoru. Lielākā daļa mūsdienu kalkulatoru var uzreiz atrast skaitļa kvadrātsakni. Viss, kas jums jādara, ir ievadīt savu numuru un pēc tam noklikšķiniet uz saknes pogas. Piemēram, lai atrastu sakni 841, jums jānospiež 8, 4, 1 un (√). Rezultātā jūs saņemsit atbildi uz 39.