Saturs

• Lai soli
• 1. metode no 2: sakņu vilkšana ar galvenajiem faktoriem
• 2. metode no 2: kvadrātveida sakņu atrašana bez kalkulatora
• Ar ilgu dalījumu
• Izprotiet procedūru
• Padomi
• Brīdinājumi

Pirms kalkulatoru parādīšanās gan studentiem, gan profesoriem bija jāaprēķina kvadrātsaknes ar pildspalvu un papīru. Tajā laikā tika izstrādātas dažādas metodes, lai risinātu šo dažkārt sarežģīto darbu, no kuriem daži sniedz aptuvenu novērtējumu, bet citi aprēķina precīzu vērtību. Lasiet tālāk, lai uzzinātu, kā dažos vienkāršos soļos atrast skaitļa kvadrātsakni.

Lai soli

1. metode no 2: sakņu vilkšana ar galvenajiem faktoriem

1. Sadaliet savu skaitli jaudas koeficientos. Šī metode izmanto skaitļa faktorus, lai atrastu skaitļa kvadrātsakni (atkarībā no skaitļa tā var būt precīza atbilde vai tāme). The faktori no noteiktā skaitļa ir jebkura skaitļu secība, kas tiek reizināta kopā, lai izveidotu konkrēto skaitli. Piemēram, jūs varat teikt, ka koeficienti 8 ir vienādi ar 2 un 4, jo 2 × 4 = 8. Savukārt perfekti kvadrāti ir veseli skaitļi, kas ir citu veselu skaitļu reizinājums. Piemēram, 25, 36 un 49 ir ​​perfekti kvadrāti, jo tie ir attiecīgi 5, 6 un 7. Otrie jaudas koeficienti, kā jūs jau sapratāt, ir faktori, kas arī ir perfekti kvadrāti. Lai atrastu kvadrātsakni, izmantojot galvenos faktorus, vispirms mēģiniet sadalīt skaitli tā otrajos jaudas koeficientos.
   • Ņemiet šādu piemēru. Mēs atradīsim kvadrātsakni no 400. Vispirms skaitli sadalām jaudas koeficientos. Tā kā 400 ir 100 reizinājums, mēs zinām, ka tas vienmērīgi dalās ar 25 - ideāls kvadrāts. Ātrais rote stāsta, ka arī 400/25 = 16,16 ir perfekts kvadrāts. Tātad kubu koeficienti 400 ir 25. un 16. lpp jo 25 × 16 = 400.
   • Mēs to rakstām šādi: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Paņemiet savu otro jaudas koeficientu kvadrātsaknes. Kvadrātsakņu produkta noteikumā teikts, ka jebkuram skaitlim a un b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Šīs īpašības dēļ mēs tagad varam ņemt kvadrātu faktoru kvadrātsaknes un reizināt tās kopā, lai iegūtu atbildi.
   • Šajā piemērā mēs ņemam kvadrātsaknes no 25 un 16. Skatīt zemāk:
     • Kvadrāts (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Ja jūsu numuru nevar precīzi noteikt, vienkāršojiet to. Patiesībā skaitļi, kuru kvadrātsaknes vēlaties noteikt, nebūs jauki noapaļoti skaitļi ar jaukiem kvadrātiem, piemēram, 400. Šādos gadījumos atbildi var nebūt iespējams iegūt veselam skaitlim. Tā vietā, izmantojot visus jaudas faktorus, kurus varat atrast, jūs varat noteikt atbildi kā mazāku, vieglāk lietojamu kvadrātsakni. Jūs to darāt, samazinot skaitli līdz jaudas faktoru un citu faktoru kombinācijai un pēc tam to vienkāršojot.
   • Kā piemēru ņemam kvadrātsakni 147. 147 nav divu ideālu kvadrātu reizinājums, tāpēc mēs nevaram iegūt jauku vesela skaitļa vērtību. Bet tas ir ideāla kvadrāta un cita skaitļa - 49 un 3 rezultāts. Mēs varam izmantot šo informāciju, lai atbildi uzrakstītu visvienkāršāk:
     • Kvadrāts (147)
     • = Kvadrāts (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × kvadrāts (3)
4. Ja nepieciešams, vienkāršojiet. Izmantojot kvadrātsakni visvienkāršākos vārdos, parasti ir diezgan viegli iegūt aptuvenu atbildes novērtējumu, novērtējot atlikušās kvadrātsaknes un tās reizinot. Viens no veidiem, kā uzlabot minējumus, ir atrast perfektus kvadrātus abās jūsu kvadrātsaknes skaitļa pusēs. Jūs zināt, ka kvadrātsaknes skaitļa decimālvērtība ir kaut kur pa vidu starp šiem diviem skaitļiem, tāpēc jūsu minējumam būs jābūt arī starp šiem skaitļiem.
   • Atgriezīsimies pie sava piemēra. Tā kā 2 = 4 un 1 = 1, mēs zinām, ka Sqrt (3) ir starp 1 un 2 - iespējams, tuvāk 2 nekā 1. Mēs uzskatām, ka 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Ja to pārbaudām ar kalkulatoru, redzam, ka esam diezgan tuvu atbildei: 12,13.
     • Tas darbojas arī lielākiem skaitļiem. Piemēram, sqrt (35) ir aptuveni no 5 līdz 6 (iespējams, tuvāk 6). 5 = 25 un 6 = 36,35 ir no 25 līdz 36, tāpēc kvadrātsakne būs no 5 līdz 6. Tā kā 35 ir nedaudz zem 36, mēs ar zināmu pārliecību varam teikt, ka tā kvadrātsakne tikai ir mazāks par 6. Pārbaudot ar kalkulatoru, mēs saņemam atbildi aptuveni 5,92 - mums bija taisnība.
5. Kā alternatīvu kā pirmo soli jūs varat vienkāršot numuru līdz vismazāk izplatīts vairākkārtējs. Jaudas koeficientu meklēšana nav nepieciešama, ja jūs varat viegli atrast skaitļa galvenos faktorus (koeficientus, kas vienlaikus ir arī galvenie skaitļi). Uzrakstiet skaitli vismazāk izplatīto reizinājumu izteiksmē. Pēc tam meklējiet starp faktoriem, lai sakārtotu primāru skaitļu pārus. Kad atrodat divus galvenos faktorus, kas sakrīt, noņemiet tos no kvadrātsaknes un novietojiet a no šiem skaitļiem ārpus kvadrātsaknes zīmes.
   • Piemēram, izmantojot šo metodi, mēs nosakām kvadrātsakni 45. Mēs zinām, ka 45 = 9 × 5 un ka 9 = 3 × 3. Tātad kvadrātsakni varam uzrakstīt šādi: Sqrt (3 × 3 × 5). Vienkārši izdzēsiet 3 un ievietojiet 3 ārpus kvadrātsaknes, lai iegūtu vienkāršotu kvadrātsakni: (3) Sqrt (5). Tagad jūs varat viegli veikt aprēķinu.
   • Pēdējais piemērs; mēs nosakām kvadrātsakni 88:
     • Kvadrāts (88)
     • = Kvadrāts (2 × 44)
     • = Kvadrāts (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Mūsu kvadrātsaknē ir vairāki 2. Tā kā 2 ir galvenais, mēs varam noņemt pāri un ievietot 2 ārpus saknes.
     • = Mūsu kvadrātsakne visvienkāršāk sakot, ir (2) Sqrt (2 × 11) vai (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Tagad mēs varam pieiet pie Sqrt (2) un Sqrt (11) un atrast aptuvenu atbildi, ja mēs to vēlētos.

2. metode no 2: kvadrātveida sakņu atrašana bez kalkulatora

Ar ilgu dalījumu

1. Sadaliet sava cipara ciparus pāros. Šī metode ir līdzīga garajam sadalījumam, kas ļauj sadalīt precīzi cipara kvadrātsakne pēc cipara. Lai gan tas nav būtiski, numuru sadalīšana darbspējīgos gabalos var atvieglot risināšanu, it īpaši, ja tas ir garš. Vispirms uzzīmējiet vertikālu līniju, sadalot darba zonu 2 zonās, tad īsāku līniju netālu no labās zonas augšdaļas, sadalot to mazākā augšdaļā un lielākā daļā zemāk. Pēc tam sadaliet skaitli skaitļu pāros, sākot no komata. Saskaņā ar šo noteikumu 79520789182.47897 kļūst par "7 95 20 78 91 82.47 89 70". Uzrakstiet šo numuru augšējā kreisajā zonā.
   • Aprēķināsim kvadrātsakni 780,14. Sadaliet savu darba vietu, kā norādīts iepriekš, un augšējā kreisajā stūrī ierakstiet “7 80, 14”. Tas ir labi, ja galējā kreisajā pusē ir tikai viens skaitlis, nevis divi. Pēc tam jūs rakstāt atbildi (kvadrātsakne 780,14) labā laukuma augšdaļā.
2. Atrodiet lielāko skaitli n kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar visvairāk kreiso ciparu vai skaitli. Atrodiet lielāko kvadrātu, kas ir mazāks vai vienāds ar šo skaitli, un pēc tam atrodiet šī kvadrāta kvadrātsakni. Šis skaitlis ir n. Uzrakstiet to augšējā labajā zonā un ierakstiet kvadrātu n šīs zonas apakšējā kvadrantā.
   • Mūsu piemērā visvairāk kreisais cipars ir skaitlis 7. Tā kā mēs zinām, ka 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, mēs varam teikt, ka n = 2, jo tas ir lielākais vesels skaitlis, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar 7. Rakstiet 2 augšējā labajā kvadrantā. Šis ir pirmais atbildes cipars. Labajā apakšējā kvadrantā ierakstiet 4 (kvadrāts 2). Šis skaitlis ir svarīgs nākamajam solim.
3. Atņemiet aprēķināto skaitli kreisā cipara vai cipara. Tāpat kā ar ilgu dalīšanu, nākamais solis ir kvadrāta atņemšana no skaitļa, kuru tikko izmantojām aprēķinam. Uzrakstiet šo skaitli zemāk pa kreisi un atņemiet tos. Uzrakstiet atbildi zemāk.
   • Mūsu piemērā mēs rakstām 4 zem 7 un atņemam to. Tas dod 3 atbildot.
4. Pārvietojiet nākamo numuru uz leju. Novietojiet to blakus vērtībai, kuru atradāt iepriekšējā labojumā. Reiziniet numuru augšējā labajā pusē ar diviem un pierakstiet to apakšējā labajā stūrī. Atstājiet vietu blakus tikko pierakstītajam skaitlim par summu, kuru izdarīsit nākamajā solī. Uzrakstiet šeit "_ × _ =" ".
   • Mūsu piemērā nākamais skaitlis ir "80". Kreisajā kvadrantā blakus 3 ierakstiet "80". Tad reiziniet skaitli augšējā labajā pusē ar 2. Šis skaitlis ir 2, tātad 2 × 2 = 4. Apakšējā labajā stūrī pierakstiet "" 4 ", kam seko _×_=.
5. Ievadiet ciparus labajā pusē. Summas tukšajā vietā (pa labi) ievadiet lielāko veselu skaitli, kas labošanas reizināšanas summas rezultātu padarīs mazāku vai vienādu ar pašreizējo skaitli kreisajā pusē.
   • Mūsu piemērā mēs ievadām 8, un tas dod 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Tas ir lielāks par 380. Tātad 8 ir pārāk liels, bet 7, iespējams, nav. Aizpildiet 7 un atrisiniet: 4 (7) × 7 = 329. 7 ir labs, jo 329 ir mazāks par 380. Augšējā labajā stūrī ierakstiet 7. Šis ir otrais cipars kvadrātsaknē 780.14.
6. No kreisās puses pašreizējā skaitļa atņemiet tikko aprēķināto skaitli. Tātad jūs atņemat labošanas reizināšanas rezultātu no pašreizējās atbildes kreisajā pusē. Uzrakstiet atbildi tieši zem tās.
   • Mūsu piemērā mēs atņemam 329 no 380, un tas dod 51 kā rezultātā.
7. Atkārtojiet 4. darbību. Pārvietojiet nākamo skaitļu pāri uz leju no 780.14. Kad nonākat pie komata, ierakstiet šo komatu atbildē pa labi. Tad reiziniet augšējo labo skaitli ar 2 un rakstiet atbildi blakus ("_ × _"), kā norādīts iepriekš.
   • Atbildē mēs tagad rakstām komatu, jo ar to sastopamies arī 780.14. Pārvietojiet nākamo pāri (14) pa kreiso kvadrantu. 27 x 2 = 54, tāpēc apakšējā labajā kvadrantā ierakstām "54 _ × _ =".
8. Atkārtojiet 5. un 6. darbību. Atrodiet lielāko skaitli, kas sniedz atbildi, kas ir mazāka vai vienāda ar pašreizējo skaitli kreisajā pusē. Atrisiniet.
   • Mūsu piemērā 549 × 9 = 4941, kas ir mazāks vai vienāds ar skaitli kreisajā pusē (5114). 549 × 10 = 5490, kas ir pārāk augsts, tāpēc 9 ir mūsu atbilde. Uzrakstiet 9 kā nākamo augšējo labo skaitli un no kreisā skaitļa atņemiet reizināšanas rezultātu: 5114 -4941 = 173.
9. Lai rezultāts būtu precīzs, atkārtojiet iepriekšējo procedūru, līdz atrodat atbildi ar nepieciešamo decimālzīmju skaitu (simtdaļas, tūkstošdaļas).

Izprotiet procedūru

1. Apsveriet skaitli, kura kvadrātsakni vēlaties aprēķināt, kā kvadrāta laukumu S. Tā kā kvadrāta laukums ir L, kur L ir vienas tā malas garums, tāpēc, atrodot sava skaitļa kvadrātsakni, jūs mēģināt aprēķināt šī kvadrāta malas garumu L.
2. Dodiet katram atbildes ciparam burtu. Ievadiet mainīgo A kā L pirmo ciparu (kvadrātsakni, kuru cenšamies aprēķināt). B ir otrais cipars, C trešais utt.
3. Dodiet burtu katram skaitļa pārim, ar kuru sākat. Dodiet mainīgo S_a līdz pirmajam ciparu pārim S (sākotnējā vērtība), S._b uz otro ciparu pāri utt.
4. Izprotiet saikni starp šo metodi un garo dalījumu. Šī kvadrātsaknes atrašanas metode būtībā ir garš dalījums, kur sākotnējo vērtību dalāt ar tās kvadrātsakni un kā atbildi "dodat" kvadrātsakni. Tāpat kā ar lielu dalīšanu, kur jūs interesē tikai nākamais cipars vienlaikus, jūs interesē tikai nākamie divi cipari vienlaikus (kas atbilst nākamajam kvadrātsaknes ciparam).
5. Atrodiet lielāko skaitli, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar S._a ir. Pirmais cipars A mūsu atbildē ir lielākais vesels skaitlis, kura kvadrāts nav lielāks par S._a (A tāds, ka A² ≤ Sa (A + 1) ²). Mūsu piemērā S_a = 7 un 2² ≤ 7 3², tātad A = 2.
   • Ņemiet vērā, ka, dalot 88962 ar 7, izmantojot garo dalījumu, pirmais solis ir vienāds: vispirms tiek galā ar 88962 (8) pirmo ciparu un vēlaties, lai lielākais cipars reizināts ar 7, kas ir mazāks vai vienāds ar 8. Būtībā jūs noteikt d tāds, ka 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). Šajā gadījumā d ir vienāds ar 1.
6. Vizualizējiet laukumu, kura platību vēlaties atrast. Jūsu atbilde, sākotnējās vērtības kvadrātsakne, ir L, kas apraksta kvadrāta garumu ar laukumu S (sākotnējā vērtība). A, B un C vērtības apzīmē ciparus vērtībā L. Cits veids, kā to pateikt, ir tāds, ka divciparu atbildei 10A + B = L un trīsciparu atbildei 100A + 10B. + C = L utt.
   • Mūsu piemērā (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atcerieties, ka 10A + B apzīmē mūsu atbildi L kopā ar B vienību pozīcijā un A desmito pozīcijā. Piemēram, ja A = 1 un B = 2, tad 10A + B ir skaitlis 12. (10A + B) ² ir visa laukuma platība, savukārt 100A² ir lielākā iekšējā laukuma platība, B² ir mazākā laukuma platība un 10A × B ir katra atlikušā taisnstūra laukums. Veicot šo garo, sarežģīto procedūru, mēs varam atrast visa laukuma laukumu, pievienojot kvadrātu un taisnstūru laukumus, kas ir tā daļa.
7. No S atņemiet A²._a. Atnesiet skaitļu pāri (S._b) uz leju no skaita S. S._a S._b ir gandrīz kopējā laukuma platība, no kuras jūs vienkārši atņēmāt lielākā iekšējā laukuma platību. Atlikums ir, teiksim, skaitlis N1, kuru ieguvām 4. solī (N1 = 380 mūsu piemērā). N1 ir 2 × 10A × B + B² (2 taisnstūru laukums plus mazā kvadrāta laukums).
8. Apskatiet N1 = 2 × 10A × B + B², kas rakstīts arī kā N1 = (2 × 10A + B) × B. Mūsu piemērā jūs jau zināt N1 (380) un A (2), tāpēc tagad jums jāatrod B. B, iespējams, nav vesels skaitlis, tāpēc jums tas jādara faktiski atrodiet lielāko veselu skaitli B tā, lai (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Tātad tagad jums ir: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Atrisiniet vienādojumu. Lai atrisinātu šo vienādojumu, reiziniet A ar 2, pārnesiet to uz desmit (reiziniet ar 10), ielieciet B vienībās un reiziniet rezultātu ar B. Citiem vārdiem sakot, (2 × 10A + B) × B. Tas ir tieši to, ko jūs darāt, 4. solī apakšējā labajā kvadrantā ierakstot “N_ × _ =” (ar N = 2 × A). 5. solī jūs nosakāt lielāko veselu skaitli B, kas ietilpst zem līnijas, tātad (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. No kopējās platības atņemiet laukumu (2 × 10A + B) × B. Tas dod apgabalu S- (10A + B) ², kuru vēl neesat ņēmis vērā (un kuru jūs izmantojat, lai vienādi aprēķinātu šādus skaitļus).
11. Lai aprēķinātu nākamo ciparu C, atkārtojiet procedūru. Pārvietojiet nākamo skaitļu pāri no S uz leju (S_c), lai nokļūtu N2 pa kreisi, un meklējiet lielāko C, lai jums tagad būtu: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (vienāds ar divciparu, kam seko divciparu skaitlis "AB") ar "_ × _ =" Tagad nosakiet lielāko skaitli, ko šeit varat ievadīt, kas sniegs jums atbildi, kas ir mazāka vai vienāda ar N2.

Padomi

• Pārvietojot komatu par divām vietām (koeficients 100), komats attiecīgajā kvadrātsaknē tiek pārvietots par vienu vietu (koeficients 10).
• Piemērā 1,73 varētu uzskatīt par "atlikumu": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Šī metode darbojas jebkurai skaitļu sistēmai, ne tikai decimāldaļai (decimāldaļai).
• Droši ievietojiet aprēķinus tur, kur vēlaties. Daži cilvēki to raksta virs skaitļa, kuram vēlas aprēķināt kvadrātsakni.
• Alternatīva metode ir šāda: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Piemēram, lai aprēķinātu kvadrātsakni 780,14, ņem veselu skaitli, kura kvadrāts ir vistuvāk 780,14 (28), tātad = 780,14, x = 28 un y = -3,86. Aizpildīšana un novērtēšana dod mums x + y / (2x), un tas dod (vienkāršotus terminus) 78207/2800 vai aptuveni 27.931 (1); šādu terminu - 4374188/156607 vai aptuveni 27.930986 (5). Katrs apzīmējums iepriekšējam pievieno aptuveni 3 precizitātes zīmes aiz komata.

Brīdinājumi

• Noteikti sadaliet skaitli pāros no komata. Dalot 79520789182.47897 ar "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "dod nepareizu rezultātu.