Saturs

• Lai soli
• 1. daļa no 3: Analīzes pamati
• 2. daļa no 3: Saprast atvasinājumus
• 3. daļa no 3: saprast integrāļus
• Padomi

Analīze (saukta arī par aprēķinu) ir matemātikas nozare, kas koncentrējas uz robežām, funkcijām, atvasinājumiem, integrāļiem un bezgalīgām sērijām. Šis priekšmets aptver daudz matemātikas un ir daudzu fizikā un mehānikā izmantoto formulu un vienādojumu pamatā. Jums, iespējams, vajadzēs vairākus gadus ilgas matemātikas, lai pareizi izprastu analīzi, taču šis raksts ļaus sākt mācīties atpazīt galvenos jēdzienus, kā arī labāk izprast teoriju.

Lai soli

1. daļa no 3: Analīzes pamati

1. Analīze ir pētījums par to, kā lietas mainās. Analīze ir matemātikas nozare, kas pārbauda skaitļus un grafikus, kas parasti tiek ņemti no reālās pasaules datiem, un paskaidro, kā tie mainās. Lai gan sākumā tas var šķist ne pārāk noderīgs, analīze ir viena no visbiežāk izmantotajām matemātikas nozarēm. Iedomājieties, ka jums ir instrumenti, lai pastāstītu, cik ātri jūsu bizness aug attiecīgajā brīdī, vai kā kartēt kosmosa kuģa kursu un cik ātri tiek iztērēta tā degviela. Analīze ir svarīgs instruments inženierzinātnēs, ekonomikā, statistikā, ķīmijā un fizikā, un tā ir veicinājusi daudzus izgudrojumus un atklājumus.
2. Funkcijas ir attiecības starp diviem skaitļiem un tiek izmantotas attiecību kartēšanai. Tie ir likumi attiecībām starp skaitļiem, un matemātiķi tos izmanto, lai izveidotu grafikus. Funkcijā katram ievadam ir tieši viens rezultāts. Piemēram: iekš ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Padomājiet par bezgalības jēdzienu. Bezgalība ir pastāvīga procesa atkārtošanās. Tā nav noteikta vieta (jūs nevarat iet uz bezgalību), bet drīzāk skaitļa vai vienādojuma uzvedība, ja tā tiek darīta uz visiem laikiem. Tas ir svarīgi, lai pētītu pārmaiņas: jūs varētu vēlēties uzzināt, cik ātri jūsu automašīna pārvietojas noteiktā laikā, bet vai tas ir tik ātri, cik jūsu automašīna pārvietojas pašreizējās sekundes laikā? Millisekunde? Nanosekunde? Jūs varat atrast bezgalīgi mazākus laika gabalus, lai būtu vēl precīzāk, un tad notiek analīze.
3. Izprotiet robežu jēdzienu. Robeža norāda, kas notiek, kad kaut kas tuvojas bezgalībai. Paņemiet skaitli 1 un daliet to ar 2. Turpiniet dalīt ar 2 atkal un atkal. 1 kļūst par 1/2 un pēc tam par 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 utt. Katru reizi, kad skaitlis kļūst mazāks un "tuvāk" nullei. Bet kur tas apstājas? Cik reizes jums jāsadala 1 ar 2, lai iegūtu nulli? Tā vietā, lai atbildētu uz šo jautājumu, analīzē jūs to iestatāt ierobežojums Šajā gadījumā robeža ir.
   • Ierobežojumus grafikā ir visvieglāk vizualizēt - piemēram, vai ir punkti, kuriem grafiks gandrīz pieskaras, bet nekad nav gluži tā?
   • Ierobežojumi var būt skaitļi, bezgalīgi vai pat neeksistējoši. Piemēram, ar pievienošanas secību 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... un tas turpinās bezgalīgi, galīgais skaitlis kļūst bezgalīgi liels. Tad robeža kļūst bezgalīga.
4. Pārskatiet būtiskākos matemātikas jēdzienus algebrā, trigonometriju un matemātikas pamatus. Analīze balstās uz lielu daļu matemātikas, kuru esat iemācījies iepriekš. Ja esat labi informēts par visām tēmām, ir daudz vieglāk apgūt un izprast analīzi. Dažas tēmas, kuras jāpaplašina, ir:
   • Algebra. Jums jāsaprot dažādi procesi un jāspēj atrisināt vienādojumi un vienādojumu sistēmas ar vairākiem mainīgajiem. Izprot kolekciju pamatus. Vingriniet veidot grafikus.
   • Ģeometrija. Ģeometrija ir formu izpēte. Jums vajadzētu būt pamatzināšanām par trijstūriem, taisnstūriem un apļiem, kā arī par to, kā aprēķināt tādas lietas kā perimetrs un laukums. Izprotiet leņķus, līnijas un koordinātas
   • Trigonometrija. Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar apļu un taisnstūra trijstūru īpašībām. Zināt, kā izmantot trigonometriskās identitātes, grafikus, funkcijas un apgrieztās trigonometriskās funkcijas.
5. Iegādājieties grafiku kalkulatoru. Analīzi nav viegli saprast, neredzot, ko darāt. Grafika kalkulatori padara funkcijas vizuālas, lai jūs varētu labāk saprast, ar kādiem vienādojumiem jums ir darīšana. Bieži vien ierobežojumi tiek parādīti arī ekrānā, un atvasinājumi un funkcijas tiek aprēķinātas automātiski.
   • Daudzi viedtālruņi un planšetdatori šodien piedāvā lētas, bet efektīvas grafiku veidošanas lietotnes, ja nevēlaties vai nevarat iegādāties grafiku kalkulatoru.

2. daļa no 3: Saprast atvasinājumus

1. Analīze tiek izmantota, lai pētītu "izmaiņas noteiktā brīdī". Zināšanas, kāpēc kaut kas mainās precīzā brīdī, ir analīzes pamatā. Piemēram, analīze parāda ne tikai automašīnas ātrumu, bet arī to, cik daudz tas mainās jebkurā brīdī. Tas ir viens no vienkāršākajiem analīzes izmantošanas veidiem, bet ļoti svarīgs. Iedomājieties, cik liela nozīme ir šādai informācijai, nosakot ātrumu, kas nepieciešams, lai kosmosa kuģis tiktu uz Mēnesi!
   • Pārmaiņu noteikšana noteiktā laika posmā ir atšķirt. Diferencēšana ir pirmā no divām galvenajām analīzes nozarēm.
2. Izmantojiet atvasinājumus, lai saprastu, kā lietas mainās noteiktā laikā. "Atvasinājums" ir jauks vārds kaut kam, kas studentus bieži vien satrauc. Tomēr pats jēdziens nav tik grūti saprotams - tas tikai nozīmē "cik ātri kaut kas mainās". Atvasinājumi, ar kuriem ikdienā saskarsies visvairāk, ir saistīti ar ātrumu. Tomēr jūs to parasti nesaucat par "ātruma atvasinājumu", bet vienkārši par "paātrinājumu".
   • Paātrinājums ir atvasinājums - tas norāda, cik ātri kaut kas paātrinās vai palēninās, vai kā mainās tā ātrums.
3. Ziniet, ka izmaiņu ātrums ir vienāds ar slīpumu starp diviem punktiem. Šis ir viens no svarīgākajiem analīzes atklājumiem. Izmaiņu ātrums starp diviem punktiem ir vienāds ar līnijas slīpumu starp šiem diviem punktiem. Vienkārši domājiet par vienkāršu līniju, piemēram, par vienādojumu ${ displaystyle y = 3x.}$Ziniet, ka jūs varat noteikt izliekto līniju slīpumu. Taisnas līnijas slīpuma noteikšana ir salīdzinoši vienkārša: cik daudz mainās ${ displaystyle y}$Ja vēlaties precīzāk aprēķināt izmaiņas, pārliecinieties, ka punkti atrodas tuvāk viens otram. Jo tuvāk jūs izvēlaties divus punktus, jo precīzāka ir jūsu atbilde. Pieņemsim, ka vēlaties uzzināt, cik daudz jūsu automašīna paātrina, nospiežot akseleratoru. Jūs nevēlaties izmērīt ātruma izmaiņas starp jūsu māju un lielveikalu, bet ātruma izmaiņas no brīža, kad nospiežat akseleratoru. Jo tuvāk jūsu lasījums nonāk šai sekundes daļai, jo precīzāk jūs aprēķināt izmaiņas.
   • Piemēram, zinātnieki pēta, cik ātri dažas sugas izmirst, lai tās glābtu. Tomēr ziemā mirst vairāk dzīvnieku nekā vasarā, tāpēc nav lietderīgi visu gadu izpētīt izmaiņu ātrumu - labāk ir noteikt izmaiņu ātrumu mazākā laika posmā, piemēram, no 1. jūlija līdz 1. augustam.
4. Izmantojiet bezgalīgi īsas līnijas, lai noteiktu "momentāno izmaiņu ātrumu" vai atrastu atvasinājumu. Tieši šeit analīze bieži kļūst nedaudz mulsinoša, bet tas faktiski ir divu vienkāršu faktu rezultāts. Pirmkārt, jūs zināt, ka līnijas slīpums ir vienāds ar to, cik ātri šī līnija mainās. Otrkārt, jūs zināt, ka jo tuvāk līnijas punkti atrodas viens otram, jo ​​precīzāks rādījums kļūs. Bet kā jūs varat atrast izmaiņu ātrumu noteiktā punktā, ja slīpums ir divu punktu attiecība? Atbilde: Jūs izvēlaties divus punktus, kas ir bezgalīgi tuvu viens otram.
   • Apsveriet piemēru, kur jūs pastāvīgi dalāt 1 ar 2, tādējādi iegūstot 1/2, 1/4, 1/8 utt. Tātad galu galā jūs nonākat tuvu nullei, un atbilde ir "gandrīz nulle". Punkti ir tik tuvu viens otram, ka tie ir "gandrīz vienādi viens ar otru". Tas ir atvasinājumu raksturs.
5. Uzziniet, kā noteikt dažādus atvasinājumus. Atvasinājuma atrašanai atkarībā no vienādojuma ir daudz dažādu paņēmienu, taču lielākajai daļai no tiem ir jēga, ja esat iegaumējis iepriekš minētos atvasinājumu pamatus. Visi atvasinājumi ir veids, kā atrast "bezgalīgi mazas" līnijas slīpumu. Tagad, kad jūs zināt vairāk par atvasinājumu teoriju, liela daļa darba ir jāatrod atbildes.
6. Atrodiet atvasinātos vienādojumus, lai prognozētu izmaiņu ātrumu jebkurā laikā. Lai noteiktu izmaiņu ātrumu jebkurā brīdī, ir lietderīgi izmantot atvasinājumus, taču analīzes skaistums ir tāds, ka jebkurai funkcijai varat izveidot jaunu modeli. Atvasinājums no ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Ja jums tas ir grūti saprotams, mēģiniet atcerēties atvasinājumu reālos piemērus. Vienkāršākais piemērs ir balstīts uz ātrumu, kas aptver daudz dažādu atvasinājumu, ar kuriem mēs sastopamies katru dienu. Neaizmirsti: atvasinājums ir mērs tam, cik ātri kaut kas mainās. Iedomājieties vienkāršu eksperimentu. Jūs ripojat marmoru uz galda un katru reizi mēra, cik tālu tas pārvietojas un cik ātri. Tagad iedomājieties, ka velmētais marmors seko grafika līnijai - jūs izmantojat atvasinājumus, lai jebkurā brīdī izmērītu momentānās izmaiņas šajā līnijā.
   • Cik ātri marmors pārvietojas? Ar kādu ātrumu mainās kustīgā marmora pozīcija (vai atvasinājums)? Mēs šo atvasinājumu saucam par "ātrumu".
   • Rullējiet marmoru pa nogāzi un novērojiet, kā mainās ātrums. Kāds ir marmora ātruma maiņas ātrums vai atvasinājums? Šis atvasinājums ir tas, ko mēs saucam par "paātrinājumu".
   • Rullējiet marmoru pa viļņainu ceļu, piemēram, amerikāņu kalniņus. Cik lielā mērā marmors iegūst ātrumu, kad tas ripo uz leju, un cik lielā mērā marmors palēninās kalnā? Cik ātri marmors iet tieši tad, kad tas ir pirmā kalna vidū? Tas ir šī marmora momentānais izmaiņu ātrums vai atvasinājums šajā konkrētajā punktā.

3. daļa no 3: saprast integrāļus

1. Ziniet, ka varat izmantot analīzi, lai atrastu sarežģītas jomas un apjomus. Izmantojot analīzi, jūs varat izmērīt sarežģītas formas, kuras citādi ir grūti izmērīt. Apsveriet, piemēram, problēmu, kuru vēlaties uzzināt, cik daudz ūdens satur garš, neregulāras formas ezers - nav iespējams izmērīt katru litru ūdens atsevišķi vai izmantot lineālu, lai izmērītu ezera formu. Izmantojot analīzi, varat izpētīt, kā mainās ezera malas, un pēc tam izmantot šo informāciju, lai uzzinātu, cik daudz ūdens tajā ir.
   • Ģeometrisko modeļu veidošana un apjomu izpēte integrēt. Otrais svarīgais analīzes virziens ir integrētais aprēķins.
2. Ziniet, ka integrācija ir apgabals zem diagrammas. Integrāciju izmanto, lai izmērītu vietu zem līnijas, kas ļauj noteikt dīvainu vai neregulāru formu laukumu. Veikt vienādojumu ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Ziniet, ka jāizvēlas integrējamais apgabals. Jūs nevarat vienkārši integrēt visu funkciju. Piemēram, ${ displaystyle y = x}$Padomājiet par to, kā aprēķināt taisnstūra laukumu. Pieņemsim, ka virs diagrammas ir plakana līnija, piemēram, ${ displaystyle y = 4.}$Ziniet, ka, lai atrastu laukuma laukumu, vienotajā aprēķinā tiek saskaitīti daudzi mazi taisnstūri. Milzīgi palielinot līkni, šķiet, ka tā ir taisna līnija. Jūs to redzat katru dienu - jūs nevarat uztvert zemes izliekumu, jo esat tik tuvu zemes virsmai. Integrācija rada bezgalīgu skaitu mazu taisnstūru zem līknes, kas ir tik mazi, ka tie būtībā ir plakani, ļaujot tos saskaitīt. Visi šie kopā pievienotie taisnstūri veido laukuma laukumu zem līknes.
   • Pieņemsim, ka zem diagrammas esat pievienojis daudz mazu segmentu, un tas ir katra segmenta platums gandrīz ir nulle.
3. Zināt, kā pareizi lasīt un pierakstīt integrālus. Integrāļi sastāv no 4 daļām. Tipisks integrālis izskatās šādi:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Uzziniet vairāk par integrāļu atrašanu. Integrācija notiek dažādos veidos, un, lai integrētu katru funkciju, jums jāapgūst daudz dažādu formulu. Tomēr viņi visi ievēro iepriekš izklāstītos principus: integrācija ir bezgalīga daudzuma lietu summa.
   • Integrēt ar aizstāšanu.
   • Aprēķiniet nenoteiktos integrāļus.
   • Integrējiet, kopīgojot.
4. Ziniet, ka integrācija ir diferenciācijas pretējā puse un otrādi. Šis ir analīzes pamatnoteikums, kas ir tik svarīgs, ka tam ir piešķirts savs nosaukums: integrālās aprēķināšanas galvenā teorēma.Tā kā integrācija un diferenciācija ir tik cieši saistītas, šo divu kombināciju var izmantot, lai noteiktu izmaiņu ātrumu, paātrinājumu, ātrumu, atrašanās vietu, kustību utt., Neatkarīgi no tā, kāda informācija jums ir.
   • Piemēram, atcerieties, ka ātruma atvasinājums ir paātrinājums, tāpēc jūs varat izmantot ātrumu, lai atrastu paātrinājumu. Bet, ja jūs zināt tikai kaut kā paātrinājumu (piemēram, objektus, kas krīt smaguma dēļ), tad jūs varat integrēties, lai atgūtu ātrumu!
5. Ziniet, ka ar integrāciju jūs varat kontrolēt arī 3D objektu apjomu. Plakanas formas pagriešana ir viens no veidiem, kā izveidot 3D cietvielu. Iedomājieties, kā monēta griežas uz galda - ievērojiet, kā monēta, šķiet, griežas sfēras formā. Šī koncepcija ļauj noteikt tilpumu saskaņā ar procesu, kas pazīstams kā "tilpums pēc rotācijas".
   • Tas ļauj noteikt jebkura cietā materiāla tilpumu, ja vien jums ir funkcija, kas to attēlo. Piemēram, jūs varat izveidot funkciju, kas izseko ezera dibenu, un pēc tam to izmantot, lai noteiktu ezera tilpumu vai ūdens daudzumu.

Padomi

• Prakse padara perfektu, tāpēc veiciet mācību grāmatas vingrinājumus - pat tos, kurus skolotājs nav devis - un pārbaudiet savas atbildes, lai labāk izprastu jēdzienus.
• Ja nevarat atrast risinājumu, jautājiet savam skolotājam.