Saturs

• Soļi

Trigonometriskais vienādojums satur vienu vai vairākas mainīgā "x" (vai jebkura cita mainīgā) trigonometriskās funkcijas. Trigonometriskā vienādojuma atrisināšana ir tādas vērtības "x" atrašana, kas atbilst funkcijai (-ām) un vienādojumam kopumā.

• Trigonometrisko vienādojumu risinājumus izsaka grādos vai radiānos. Piemēri:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 grādi; x = 37,12 grādi; x = 178,37 grādi.

• Piezīme: trigonometrisko funkciju vērtības no leņķiem, kas izteikti radiānos, un no leņķiem, kas izteikti grādos, ir vienādi. Trigonometriskais aplis ar rādiusu, kas vienāds ar vienu, tiek izmantots, lai aprakstītu trigonometriskās funkcijas, kā arī pārbaudītu trigonometrisko pamatvienādojumu un nevienādību risinājuma pareizību.
• Trigonometrisko vienādojumu piemēri:
  • grēks x + grēks 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Trigonometrisks aplis ar rādiusu viens (apļa vienība).
   • Tas ir aplis ar rādiusu, kas vienāds ar vienu, un centrs punktā O. Vienības aplis apraksta 4 mainīgā "x" trigonometriskās pamatfunkcijas, kur "x" ir leņķis, ko mēra no X ass pozitīvā virziena pretēji pulksteņrādītāja virzienam.
   • Ja "x" ir kāds leņķis uz vienības apļa, tad:
   • Horizontālā ass OAx nosaka funkciju F (x) = cos x.
   • Vertikālā ass OBy definē funkciju F (x) = sin x.
   • Vertikālā ass AT definē funkciju F (x) = tan x.
   • Horizontālā ass BU definē funkciju F (x) = ctg x.

• Vienības apli izmanto arī, lai atrisinātu pamata trigonometriskos vienādojumus un nevienādības (uz tā tiek ņemtas vērā dažādas "x" pozīcijas).

Soļi

1. 1 Trigonometrisko vienādojumu risināšanas jēdziens.
   • Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, pārveidojiet to par vienu vai vairākiem trigonometrijas pamata vienādojumiem. Trigonometriskā vienādojuma atrisināšana galu galā ir saistīta ar četru pamata trigonometrisko vienādojumu atrisināšanu.
2. 2 Trigonometrisko pamata vienādojumu risināšana.
   • Ir četri pamata trigonometrisko vienādojumu veidi:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Pamata trigonometrisko vienādojumu risināšana ietver dažādu x pozīciju aplūkošanu vienības aplī un reklāmguvumu tabulas (vai kalkulatora) izmantošanu.
   • 1. piemērs. X x = 0,866. Izmantojot reklāmguvumu tabulu (vai kalkulatoru), jūs saņemat atbildi: x = π / 3. Vienības aplis sniedz citu atbildi: 2π / 3. Atcerieties: visas trigonometriskās funkcijas ir periodiskas, tas ir, to vērtības tiek atkārtotas. Piemēram, sin x un cos x periodiskums ir 2πn, un tg x un ctg x periodiskums ir πn. Tāpēc atbilde ir rakstīta šādi:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • 2. piemērs. X x = -1/2. Izmantojot reklāmguvumu tabulu (vai kalkulatoru), jūs saņemat atbildi: x = 2π / 3. Vienības aplis sniedz citu atbildi: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • 3. piemērs. Tg (x - π / 4) = 0.
   • Atbilde: x = π / 4 + πn.
   • 4. piemērs. Ctg 2x = 1,732.
   • Atbilde: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformācijas, ko izmanto, lai atrisinātu trigonometriskos vienādojumus.
   • Lai pārveidotu trigonometriskos vienādojumus, tiek izmantotas algebriskās transformācijas (faktorizācija, viendabīgu terminu samazināšana utt.) Un trigonometriskās identitātes.
   • Piemērs 5. Izmantojot trigonometriskās identitātes, vienādojums sin x + sin 2x + sin 3x = 0 tiek pārveidots par vienādojumu 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Tādējādi jums ir nepieciešams atrisiniet šādus pamata trigonometriskos vienādojumus: cos x = 0; grēks (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Leņķu atrašana no zināmajām funkciju vērtībām.
   • Pirms apgūt trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes, jums jāiemācās atrast leņķus no zināmajām funkciju vērtībām. To var izdarīt, izmantojot reklāmguvumu tabulu vai kalkulatoru.
   • Piemērs: cos x = 0,732. Kalkulators sniegs atbildi x = 42,95 grādi. Vienības aplis dos papildu leņķus, kuru kosinuss arī ir 0,732.
5. 5 Novietojiet šķīdumu malā uz vienības apļa.
   • Jūs varat atlikt risinājumus uz trigonometrisko vienādojumu vienības aplī. Vienības apļa trigonometriskā vienādojuma risinājumi ir regulāra daudzstūra virsotnes.
   • Piemērs: Risinājumi x = π / 3 + πn / 2 uz vienības apļa ir kvadrāta virsotnes.
   • Piemērs: Risinājumi x = π / 4 + πn / 3 uz vienības apļa attēlo regulāra sešstūra virsotnes.
6. 6 Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes.
   • Ja dotajā trig vienādojumā ir tikai viena trig funkcija, atrisiniet šo vienādojumu kā pamata trig vienādojumu.Ja dotais vienādojums ietver divas vai vairākas trigonometriskas funkcijas, tad ir 2 metodes šāda vienādojuma risināšanai (atkarībā no tā pārveidošanas iespējas).
     • 1. metode.
   • Pārvērtiet šo vienādojumu par formu: f (x) * g (x) * h (x) = 0, kur f (x), g (x), h (x) ir pamata trigonometriskie vienādojumi.
     
     
   • Piemērs 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Risinājums. Izmantojot dubultā leņķa formulu sin 2x = 2 * sin x * cos x, nomainiet sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus pamata trigonometriskos vienādojumus: cos x = 0 un (sin x + 1) = 0.
   • 7. piemērs. Cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Risinājums: izmantojot trigonometriskās identitātes, pārveidojiet šo vienādojumu formas vienādojumā: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus pamata trigonometriskos vienādojumus: cos 2x = 0 un (2cos x + 1) = 0.
   • Piemērs 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Risinājums: izmantojot trigonometriskās identitātes, pārveidojiet šo vienādojumu par formu: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus pamata trigonometriskos vienādojumus: cos 2x = 0 un (2sin x + 1) = 0.
     • 2. metode.
   • Konvertējiet doto trigonometrisko vienādojumu par vienādojumu, kas satur tikai vienu trigonometrisko funkciju. Pēc tam aizstājiet šo trigonometrisko funkciju ar kādu nezināmu, piemēram, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t utt.).
   • Piemērs 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Risinājums. Šajā vienādojumā aizstājiet (cos ^ 2 x) ar (1 - sin ^ 2 x) (ar identitāti). Pārveidotais vienādojums ir šāds:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Aizstājiet sin x ar t. Tagad vienādojums izskatās šādi: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Tas ir kvadrātvienādojums ar divām saknēm: t1 = -1 un t2 = 9/5. Otrā sakne t2 neatbilst funkcijas vērtību diapazonam (-1 sin x 1). Tagad izlemiet: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • 10. piemērs. Tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Risinājums. Aizstājiet tg x ar t. Pārrakstiet sākotnējo vienādojumu šādi: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Tagad atrodiet t un pēc tam atrodiet x, lai t = tg x.
7. 7 Īpaši trigonometriskie vienādojumi.
   • Ir vairāki īpaši trigonometriskie vienādojumi, kuriem nepieciešama īpaša pārveidošana. Piemēri:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Trigonometrisko funkciju periodiskums.
   • Kā minēts iepriekš, visas trigonometriskās funkcijas ir periodiskas, tas ir, to vērtības tiek atkārtotas pēc noteikta perioda. Piemēri:
     • Funkcijas f (x) = sin x periods ir 2π.
     • Funkcijas f (x) = tan x periods ir vienāds ar π.
     • Funkcijas f (x) = sin 2x periods ir π.
     • Funkcijas f (x) = cos (x / 2) periods ir 4π.
   • Ja uzdevumā ir norādīts periods, aprēķiniet vērtību "x" šajā periodā.
   • Piezīme. Trigonometrisko vienādojumu atrisināšana nav viegls uzdevums un bieži rada kļūdas. Tāpēc rūpīgi pārbaudiet savas atbildes. Lai to izdarītu, varat izmantot grafiku kalkulatoru, lai uzzīmētu doto vienādojumu R (x) = 0. Šādos gadījumos risinājumi tiks parādīti kā decimāldaļas (tas ir, π tiek aizstāts ar 3.14).