Saturs

• Soļi
• 1. daļa no 3: Faktoringa binomi
• 2. daļa no 3: Binomi faktoru noteikšanai vienādojumu risināšanai
• 3. daļa no 3: Sarežģītu problēmu risināšana
• Padomi
• Brīdinājumi

Binomial (binomial) ir matemātiska izteiksme ar diviem terminiem, starp kuriem ir plus vai mīnus zīme, piemēram, ${ displaystyle ax + b}$... Pirmais dalībnieks ietver mainīgo, bet otrais ietver vai neietver to. Binomiāla faktorizēšana ietver tādu terminu atrašanu, kas, reizinot, rada oriģinālo binomi, lai to atrisinātu vai vienkāršotu.

Soļi

1. daļa no 3: Faktoringa binomi

1. 1 Izprast faktoringa procesa pamatus. Faktorizējot binomiālu, no iekavas tiek izņemts koeficients, kas ir katra sākotnējā binomiāla vienības dalītājs. Piemēram, skaitlis 6 ir pilnīgi dalāms ar 1, 2, 3, 6. Tādējādi skaitļa 6 dalītāji ir skaitļi 1, 2, 3, 6.
   • Dalītāji 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Jebkura skaitļa dalītāji ir 1 un pats skaitlis. Piemēram, dalītāji no 3 ir 1 un 3.
   • Veselu skaitļu dalītāji var būt tikai veseli skaitļi. Skaitli 32 var dalīt ar 3,564 vai 21,4952, bet jūs saņemat nevis veselu skaitli, bet decimāldaļu.
2. 2 Pasūtiet binomiāla nosacījumus, lai atvieglotu faktoringa procesu. Binomiāls ir divu terminu summa vai starpība, no kuriem vismaz viens satur mainīgo. Dažreiz mainīgie tiek paaugstināti līdz pakāpei, piemēram, ${ displaystyle x ^ {2}}$ vai ${ displaystyle 5 g ^ {4}}$... Binomiāla nosacījumus labāk sakārtot eksponentu augošā secībā, tas ir, vispirms tiek uzrakstīts termins ar mazāko eksponentu, bet ar lielāko - pēdējais. Piemēram:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Ievērojiet mīnusa zīmi pirms 2. Ja termins tiek atņemts, uzrakstiet tā priekšā mīnusa zīmi.
3. 3 Atrodiet abu terminu lielāko kopīgo dalītāju (GCD). GCD ir lielākais skaitlis, ar kuru dalās abi binomiālā locekļi. Lai to izdarītu, binomiālā atrodiet katra termina dalītājus un pēc tam atlasiet lielāko kopīgo dalītāju. Piemēram:
   • Uzdevums:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Dalītāji 3: 1, 3
     • Dalītāji 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Sadaliet katru terminu binomā ar lielāko kopīgo dalītāju (GCD). Dariet to, lai noteiktu GCD. Ņemiet vērā, ka katrs binomiālā loceklis samazinās (jo tas ir dalāms), bet, ja GCD tiek izslēgts no iekavām, galīgā izteiksme būs vienāda ar sākotnējo.
   • Uzdevums:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Atrodiet GCD: 3
   • Sadaliet katru binomiālo terminu ar gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Izvelciet dalītāju no iekavām. Iepriekš jūs sadalījāt abus binomiāla nosacījumus ar dalītāju 3 un saņēmāt ${ displaystyle t + 2}$... Bet jūs nevarat atbrīvoties no 3 - lai sākotnējās un beigu izteiksmes vērtības būtu vienādas, jums jāievieto 3 ārpus iekavām un iekavās jāraksta sadalīšanas rezultātā iegūtā izteiksme. Piemēram:
   • Uzdevums:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Atrodiet GCD: 3
   • Sadaliet katru binomiālo terminu ar gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Reiziniet dalītāju ar iegūto izteiksmi:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Atbilde: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Pārbaudiet savu atbildi. Lai to izdarītu, reiziniet terminu pirms iekavām ar katru terminu iekavās. Ja iegūstat oriģinālo binomiālo, risinājums ir pareizs. Tagad atrisiniet problēmu ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Pasūtiet dalībniekus:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Atrodiet GCD:${ displaystyle 6}$
   • Sadaliet katru binomiālo terminu ar gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Reiziniet dalītāju ar iegūto izteiksmi:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Pārbaudiet atbildi:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

2. daļa no 3: Binomi faktoru noteikšanai vienādojumu risināšanai

1. 1 Faktorējiet binomi, lai to vienkāršotu un atrisinātu vienādojumu. No pirmā acu uzmetiena šķiet neiespējami atrisināt dažus vienādojumus (īpaši ar sarežģītiem binomiāliem). Piemēram, atrisiniet vienādojumu ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Šajā vienādojumā ir pilnvaras, tāpēc vispirms ņemiet vērā izteiksmi.
   • Uzdevums:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Atcerieties, ka binomiālam ir divi locekļi. Ja izteiksmē ir vairāk terminu, uzziniet, kā atrisināt polinomus.
2. 2 Abām vienādojuma pusēm pievienojiet vai atņemiet dažus monomālus, lai vienādojuma vienā pusē paliktu nulle. Faktorizācijas gadījumā vienādojumu risinājums ir balstīts uz nemainīgu faktu, ka jebkura izteiksme, kas reizināta ar nulli, ir vienāda ar nulli. Tāpēc, ja vienādojumu pielīdzinām nullei, tad jebkuram no tā faktoriem jābūt vienādam ar nulli. Vienādojuma vienu pusi iestatiet uz 0.
   • Uzdevums:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Iestatīt uz nulli:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Faktorējiet iegūto tvertni. Dariet to, kā aprakstīts iepriekšējā sadaļā. Atrodiet lielāko kopējo faktoru (GCD), sadaliet ar to abus binomiālā vārdus un pēc tam izņemiet koeficientu no iekavām.
   • Uzdevums:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Iestatīt uz nulli:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktors:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Iestatiet katru koeficientu uz nulli. Iegūtajā izteiksmē 2y tiek reizināts ar 4 - y, un šis produkts ir vienāds ar nulli. Tā kā jebkura izteiksme (vai termins), kas reizināta ar nulli, ir nulle, tad 2y vai 4 - y ir 0. Iestatiet iegūto monomālo un binomiālo uz nulli, lai atrastu "y".
   • Uzdevums:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Iestatīt uz nulli:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktors:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Iestatiet abus faktorus uz 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Atrisiniet iegūtos vienādojumus, lai atrastu galīgo atbildi (vai atbildes). Tā kā katrs faktors ir vienāds ar nulli, vienādojumam var būt vairāki risinājumi. Mūsu piemērā:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Pārbaudiet savu atbildi. Lai to izdarītu, aizstājiet atrastās vērtības sākotnējā vienādojumā. Ja vienlīdzība ir patiesa, tad lēmums ir pareizs. Aizstājiet atrastās vērtības "y" vietā. Mūsu piemērā y = 0 un y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Tas ir pareizs lēmums
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$Un tas ir pareizs lēmums

3. daļa no 3: Sarežģītu problēmu risināšana

1. 1 Atcerieties, ka terminu ar mainīgo var arī faktorizēt, pat ja mainīgais ir paaugstināts līdz pakāpei. Veicot faktoringu, jums jāatrod monomāls, kas integrē katru binomijas locekli. Piemēram, monomāls ${ displaystyle x ^ {4}}$ var faktorizēt ${ displaystyle x * x * x * x}$... Tas ir, ja binomiāla otrajā termiņā ir arī mainīgais "x", tad "x" var izņemt no iekavām. Tādējādi mainīgos uzskatiet par veseliem skaitļiem. Piemēram:
   • Abi binomiāla pārstāvji ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ satur "t", tāpēc "t" var izņemt no iekavām: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • Arī mainīgo, kas paaugstināts līdz jaudai, var izņemt no kronšteina. Piemēram, abi binomiāla pārstāvji ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ saturēt ${ displaystyle x ^ {2}}$, tā ${ displaystyle x ^ {2}}$ var izņemt no kronšteina: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Pievienojiet vai atņemiet līdzīgus terminus, lai iegūtu binomiālu. Piemēram, ņemot vērā izteiksmi ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... No pirmā acu uzmetiena tas ir polinoms, bet patiesībā šo izteiksmi var pārvērst par binomiālu. Pievienojiet līdzīgus terminus: 6 un 14 (nesatur mainīgo) un 2x un 3x (satur to pašu mainīgo "x"). Šajā gadījumā faktoringa process tiks vienkāršots:
   • Oriģinālā izteiksme:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Pasūtiet dalībniekus:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Pievienojiet līdzīgus terminus:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Atrodiet GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktors:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Faktorējiet perfektu kvadrātu atšķirību. Ideāls kvadrāts ir skaitlis, kura kvadrātsakne ir, piemēram, vesels skaitlis ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ un pat ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Ja binomija ir perfektu kvadrātu atšķirība, piemēram, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, tad to faktorizē pēc formulas:
   • Kvadrātu formulas atšķirība:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Uzdevums:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Izņemiet kvadrātsaknes:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Aizstāt atrastās vērtības formulā: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Faktorējiet atšķirību starp pilniem kubiem. Ja binomija ir pilnīgo kubu starpība, piemēram, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, tad tas tiek faktorizēts, izmantojot īpašu formulu. Šajā gadījumā ir nepieciešams izvilkt kuba sakni no katra binomiālā elementa un aizstāt atrastās vērtības formulā.
   • Formula atšķirībai starp kubiem:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Uzdevums:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Izņem kubiskās saknes:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Aizstāt atrastās vērtības formulā: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Faktorizējiet pilno kubu summu. Atšķirībā no perfektu kvadrātu summas, piemēram, visu kubu summa, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, var faktorizēt, izmantojot īpašu formulu. Tas ir līdzīgs formulai, kas nosaka atšķirību starp kubiem, bet zīmes ir apgrieztas. Formula ir pavisam vienkārša - lai to izmantotu, atrodiet uzdevumā pilno kubu summu.
   • Kubu summas formula:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Uzdevums:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Izņem kubiskās saknes:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Aizstāt atrastās vērtības formulā: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Padomi

• Dažreiz binomiālajiem locekļiem nav kopīga dalītāja. Dažos uzdevumos dalībnieki tiek prezentēti vienkāršotā formā.
• Ja nevarat uzreiz atrast GCD, vispirms daliet ar maziem skaitļiem. Piemēram, ja neredzat, ka skaitļu 32 un 16 GCD ir 16, daliet abus skaitļus ar 2. Jūs saņemat 16 un 8; šos skaitļus var dalīt ar 8. Tagad jūs saņemat 2 un 1; šos skaitļus nevar samazināt. Tādējādi ir acīmredzams, ka ir lielāks skaitlis (salīdzinājumā ar 8 un 2), kas ir abu doto skaitļu kopējais dalītājs.
• Ņemiet vērā, ka sestās kārtas nosacījumi (ar eksponentu 6, piemēram, x) ir gan perfekti kvadrāti, gan perfekti kubi. Tādējādi binomiāliem ar sestās kārtas noteikumiem, piemēram, x - 64, var piemērot (jebkurā secībā) kvadrātu un kubu starpības formulas. Bet labāk vispirms piemērot formulu kvadrātu starpībai, lai pareizāk sadalītos ar binomiālu.

Brīdinājumi

• Binomiālu, kas ir perfektu kvadrātu summa, nevar faktorizēt.