Saturs

• Iepriekšēja informācija
• Soļi
• 1. daļa no 3: Pamati
• 2. daļa no 3: Laplasa transformācijas īpašības
• 3. daļa no 3: Laplasa transformācijas atrašana pēc sērijas paplašināšanas

Laplasa transformācija ir neatņemama transformācija, ko izmanto, lai atrisinātu diferenciālvienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem. Šo transformāciju plaši izmanto fizikā un inženierzinātnēs.

Lai gan jūs varat izmantot atbilstošās tabulas, ir lietderīgi izprast Laplasa pārveidojumu, lai vajadzības gadījumā to varētu izdarīt pats.

Iepriekšēja informācija

• Dota funkcija ${ displaystyle f (t)}$definēts priekš ${ displaystyle t geq 0.}$ Tad Laplasa transformācija funkciju ${ displaystyle f (t)}$ ir katras vērtības nākamā funkcija ${ displaystyle s}$, kurā integrālis saplūst:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Laplasa transformācija veic funkciju no t-reģiona (laika skala) uz s-reģionu (transformācijas reģions), kur ${ displaystyle F (s)}$ ir sarežģīta mainīgā funkcija. Tas ļauj pārvietot funkciju uz apgabalu, kur vieglāk atrast risinājumu.
• Acīmredzot Laplasa transformācija ir lineārs operators, tādēļ, ja mums ir darīšana ar terminu summu, katru integrāli var aprēķināt atsevišķi.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Atcerieties, ka Laplasa transformācija darbojas tikai tad, ja integrālis saplūst. Ja funkcija ${ displaystyle f (t)}$ ir pārtraukumi, ir jābūt uzmanīgiem un pareizi jānosaka integrācijas robežas, lai izvairītos no nenoteiktības.

Soļi

1. daļa no 3: Pamati

1. 1 Aizstājiet šo funkciju Laplasa pārveidošanas formulā. Teorētiski funkcijas Laplasa transformāciju ir ļoti viegli aprēķināt. Piemēram, apsveriet funkciju ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, kur ${ displaystyle a}$ ir sarežģīta konstante ar ${ displaystyle operatororname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Novērtējiet integrāli, izmantojot pieejamās metodes. Mūsu piemērā novērtējums ir ļoti vienkāršs, un jūs varat iztikt ar vienkāršiem aprēķiniem. Sarežģītākos gadījumos var būt vajadzīgas sarežģītākas metodes, piemēram, integrēšana pa daļām vai diferenciācija zem integrālās zīmes. Ierobežojošs stāvoklis ${ displaystyle operatornosaukums {Re} (s) operatornosaukums {Re} (a)}$ nozīmē, ka integrālis saplūst, tas ir, tā vērtība mēdz būt 0 kā ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {līdzināts}}}$
   • Ņemiet vērā, ka tas dod mums divu veidu Laplasa transformāciju ar sinusu un kosinusu, jo saskaņā ar Eilera formulu ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Šajā gadījumā saucējā mēs iegūstam ${ displaystyle s-ia,}$ un atliek tikai noteikt reālās un iedomātās daļas. Jūs varat arī novērtēt rezultātu tieši, bet tas prasītu nedaudz ilgāku laiku.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} pa kreisi ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Apsveriet jaudas funkcijas Laplasa transformāciju. Pirmkārt, jums ir jādefinē jaudas funkcijas transformācija, jo linearitātes īpašība ļauj atrast transformāciju no visa polinomi. Veidlapas funkcija ${ displaystyle t ^ {n},}$ kur ${ displaystyle n}$ - jebkurš pozitīvs vesels skaitlis. Var integrēt pa gabalu, lai definētu rekursīvu noteikumu.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Šis rezultāts tiek izteikts netieši, bet, ja aizstājat vairākas vērtības ${ displaystyle n,}$ jūs varat izveidot noteiktu modeli (mēģiniet to izdarīt pats), kas ļauj iegūt šādu rezultātu:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Izmantojot gamma funkciju, varat definēt arī daļspēku Laplasa transformāciju. Piemēram, šādā veidā jūs varat atrast tādas funkcijas transformāciju kā ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2 s { sqrt {s}}}}}$
   • Lai gan funkcijām ar daļējām pilnvarām ir jābūt izcirtņiem (atcerieties, visi sarežģītie skaitļi ${ displaystyle z}$ un ${ displaystyle alpha}$ var rakstīt kā ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, tāpēc ka ${ displaystyle e ^ { alfa operacionālais nosaukums {žurnāls} z}}$), tos vienmēr var definēt tā, lai izcirtņi atrastos kreisajā pusplaknē un tādējādi izvairītos no analītiskām problēmām.

2. daļa no 3: Laplasa transformācijas īpašības

1. 1 Atradīsim funkcijas Laplasa transformāciju, kas reizināta ar eat{ displaystyle e ^ {at}}. Iepriekšējā sadaļā iegūtie rezultāti ļāva mums uzzināt dažas interesantas Laplasa transformācijas īpašības. Funkciju, piemēram, kosinusa, sinusa un eksponenciālās funkcijas, Laplasa transformācija, šķiet, ir vienkāršāka nekā jaudas funkcijas pārveidošana. Reizināšana ar ${ displaystyle e ^ {at}}$ t-reģionā atbilst maiņa s reģionā:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Šis rekvizīts uzreiz ļauj atrast tādu funkciju transformāciju kā ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, neaprēķinot integrāli:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Atradīsim funkcijas Laplasa transformāciju, kas reizināta ar tn{ displaystyle t ^ {n}}. Pirmkārt, apsveriet reizināšanu ar ${ displaystyle t}$... Pēc definīcijas funkciju var atšķirt ar integrāli un iegūt pārsteidzoši vienkāršu rezultātu:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { daļējs} { daļējs}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • Atkārtojot šo darbību, mēs iegūstam gala rezultātu:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Lai gan integrācijas un diferenciācijas operatoru pārkārtošanās prasa zināmu papildu pamatojumu, mēs to šeit nesniegsim, bet tikai atzīmēsim, ka šī darbība ir pareiza, ja gala rezultātam ir jēga. Varat arī ņemt vērā to, ka mainīgie ${ displaystyle s}$ un ${ displaystyle t}$ nav atkarīgi viens no otra.
   • Izmantojot šo noteikumu, ir viegli atrast tādu funkciju transformāciju kā ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, bez atkārtotas integrācijas pa daļām:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Atrodiet funkcijas Laplasa transformāciju f(at){ displaystyle f (at)}. To var viegli izdarīt, aizstājot mainīgo ar u, izmantojot transformācijas definīciju:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = pie & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F pa kreisi ({ frac {s} {a}} pa labi) beilas {līdzināts}}$
   • Iepriekš mēs atradām funkciju Laplasa funkciju pārveidojumu ${ displaystyle sin at}$ un ${ displaystyle cos at}$ tieši no eksponenciālās funkcijas. Izmantojot šo īpašību, jūs varat iegūt tādu pašu rezultātu, ja atrodat īstās un iedomātās daļas ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Atrodiet atvasinājuma Laplasa transformāciju f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Atšķirībā no iepriekšējiem piemēriem, šajā gadījumā vajag integrēt pa gabalu:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) beigas {izlīdzināts}}}$
   • Tā kā otrais atvasinājums rodas daudzās fiziskās problēmās, mēs tam atrodam arī Laplasa transformāciju:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Vispārējā gadījumā n -tās kārtas atvasinājuma Laplasa transformācija tiek definēta šādi (tas ļauj atrisināt diferenciālvienādojumus, izmantojot Laplasa transformāciju):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - summa _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

3. daļa no 3: Laplasa transformācijas atrašana pēc sērijas paplašināšanas

1. 1 Atradīsim Laplasa transformāciju periodiskai funkcijai. Periodiskā funkcija atbilst nosacījumam ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ kur ${ displaystyle T}$ ir funkcijas periods, un ${ displaystyle n}$ ir pozitīvs vesels skaitlis. Periodiskās funkcijas tiek plaši izmantotas daudzās lietojumprogrammās, tostarp signālu apstrādē un elektrotehnikā. Izmantojot vienkāršas transformācijas, mēs iegūstam šādu rezultātu:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = summa _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = summa _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = summa _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { līdzināts}}}$
   • Kā redzat, periodiskas funkcijas gadījumā pietiek ar Laplasa transformācijas veikšanu vienu periodu.
2. 2 Veiciet Laplasa transformāciju dabiskajam logaritmam. Šajā gadījumā integrāli nevar izteikt elementāru funkciju veidā. Izmantojot gamma funkciju un tās sērijas paplašināšanu, varat novērtēt dabisko logaritmu un tā grādus. Eilera-Mašeroni konstantes klātbūtne ${ displaystyle gamma}$ parāda, ka, lai novērtētu šo integrāli, ir jāizmanto sērijas paplašināšana.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Apsveriet nenormalizētās sinc funkcijas Laplasa transformāciju. Funkcija ${ displaystyle operatornosaukums {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ plaši izmanto signālu apstrādei, diferenciālvienādojumos tas ir līdzvērtīgs pirmā veida sfēriskajai Besela funkcijai un nulles pakāpei ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Šīs funkcijas Laplasa transformāciju arī nevar aprēķināt ar standarta metodēm. Šajā gadījumā tiek veikta atsevišķu sērijas dalībnieku, kas ir jaudas funkcijas, pārveidošana, tāpēc to pārveidojumi obligāti saplūst noteiktā intervālā.
   • Pirmkārt, mēs rakstām funkcijas paplašināšanu Teilora sērijā:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = summa _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Tagad mēs izmantojam jau zināmo jaudas funkcijas Laplasa transformāciju. Faktoriāli tiek atcelti, un rezultātā mēs iegūstam Teilora paplašinājumu arktangentam, tas ir, mainīgu sēriju, kas līdzinās Teilora sērijai sinusa gadījumā, bet bez faktoriāliem:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = summa _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = summa _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = iedegums ^ {- 1} { frac {1} {s}} beigas {izlīdzināts}}}$