Faktora kvadrātvienādojumi

Video: How To Solve Quadratic Equations By Factoring - Quick & Simple!

Saturs

Lai soli
Sākums
1. metode no 6: izmēģināšana un kļūda
2. metode no 6: sadalīšanās
3. metode no 6: trīskāršā spēle
4. metode no 6: divu kvadrātu atšķirība
5. metode no 6: ABC formula
6. metode no 6: kalkulatora izmantošana
Padomi
Brīdinājumi
Nepieciešamība

Polinoms satur mainīgo (x) līdz noteiktai jaudai un vairākus terminus un / vai konstantes. Lai ņemtu vērā polinomu, izteiksme būs jāsadala mazākās izteiksmēs, kuras reizina kopā. Tas prasa noteiktu matemātikas līmeni, un tāpēc to var būt grūti saprast, ja vēl neesat tik tālu.

Lai soli

Sākums

Vienādojums. Kvadrāta vienādojuma standarta formāts ir:

cirvis + bx + c = 0
Sāciet, sakārtojot vienādojuma noteikumus no augstākā līdz zemākajam. Piemēram, ņemiet:

6 + 6x + 13x = 0
Mēs pārkārtosim šo izteicienu, lai ar to būtu vieglāk strādāt - vienkārši pārvietojot terminus:

6x + 13x + 6 = 0
Atrodiet faktorus, izmantojot kādu no tālāk norādītajām metodēm. Faktorējot polinomu, tiks iegūtas divas mazākas izteiksmes, kuras var reizināt kopā, lai iegūtu sākotnējo polinomu:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Šajā piemērā (2x +3) un (3x + 2) ir faktori no sākotnējās izteiksmes 6x + 13x + 6.
Pārbaudiet savu darbu! Reiziniet atrastos faktorus. Apvienojiet tos pašus noteikumus un esat pabeidzis. Sākt ar:

(2x + 3) (3x + 2)
Pārbaudīsim to, reizinot terminus, izmantojot EBBL (pirmais - ārējais - iekšējais - pēdējais), kas mums dod:

6x + 4x + 9x + 6
Tagad mēs saskaitām 4x un 9x kopā, jo tie ir vienādi noteikumi. Mēs zinām, ka faktori ir pareizi, jo mēs atgriežam vienādojumu, ar kuru sākām:

6x + 13x + 6

1. metode no 6: izmēģināšana un kļūda

Ja jums ir diezgan vienkāršs polinoms, jūs varētu uzreiz redzēt, kādi faktori ir. Piemēram, pēc nelielas prakses daudzi matemātiķi spēj redzēt izteicienu 4x + 4x + 1 ir faktori (2x + 1) un (2x + 1) tikai tāpēc, ka viņi to ir redzējuši tik daudz reižu. (Acīmredzot ar sarežģītākiem polinomiem tas nebūs tik vienkārši.) Šim piemēram izmantosim mazāk standarta izteicienu:

3x + 2x - 8

Pierakstiet faktori a termiņš un c jēdziens. Izmantojiet formātu cirvis + bx + c = 0, atpazīt a un c terminus un atzīmējiet, kādi faktori ir. 3x + 2x - 8 tas nozīmē:

a = 3 un tajā ir 1 faktoru pāris: 1 * 3
c = -8, un tam ir 4 faktoru pāri: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 un -1 * 8.
Pierakstiet divus iekavu pārus ar tukšu vietu. Šeit jūs ievadāt katras izteiksmes konstantes:

(x) (x)
Aizpildiet vietu pirms x ar vairākiem iespējamiem koeficienta faktoriem a vērtība. Priekš a mūsu piemērā 3x, ir tikai viena iespēja:

(3x) (1x)
Aizpildiet 2 atstarpes aiz x ar dažiem konstantu faktoriem. Pieņemsim, ka mēs izvēlamies 8 un 1. Ievadiet šo:

(3x8) (X1)
Nosakiet, kurām zīmēm (plus vai mīnus) jābūt starp x mainīgajiem un skaitļiem. Atkarībā no sākotnējā izteiciena rakstzīmēm ir iespējams uzzināt, kādām jābūt konstantu rakstzīmēm. Ņemsim divu faktoru divas konstantes h un k pieminēt:

Ja cirvis + bx + c, tad (x + h) (x + k)
Ja cirvis - bx - c vai cirvis + bx - c, tad (x - h) (x + k)
Ja cirvis - bx + c, tad (x - h) (x - k)
Mūsu piemērā 3x + 2x - 8 zīme ir: (x - h) (x + k), kas dod mums šādus divus faktorus:

(3x + 8) un (x - 1)
Pārbaudiet savu izvēli ar pirmo-ārējo-iekšējo-pēdējo reizinājumu. Ātra pirmā pārbaude, lai noskaidrotu, vai vidējais termins ir vismaz pareizā vērtība. Ja nē, tad jums, iespējams, ir nepareizs c izvēlētie faktori. Pārbaudīsim atbildi:

(3x + 8) (x - 1)
Reizinot mēs iegūstam:

3x - 3x + 8x - 8
Vienkāršojiet šo izteicienu, pievienojot līdzīgus terminus (-3x) un (8x), un mēs iegūstam:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Tagad mēs zinām, ka esam izvēlējušies nepareizus faktorus:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Ja nepieciešams, mainiet izvēli. Mūsu piemērā mēģināsim 2 un 4, nevis 1 un 8:

(3x + 2) (x - 4)
Tagad mūsu c termins ir vienāds ar -8, bet (3x * -4) un (2 * x) ārējais / iekšējais reizinājums ir -12x un 2x, kas nav pareizs b termiņš vai + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Ja nepieciešams, mainiet secību. Mēģināsim uzsist 2 un 4:

(3x + 4) (x - 2)
Tagad mūsu c termins (4 * 2 = 8) un joprojām ir labi, bet ārējie / iekšējie produkti ir -6x un 4x. Apvienojot tos, mēs iegūstam:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Tagad mēs esam diezgan tuvu 2x, kur mēs vēlamies būt, bet zīme vēl nav pareiza.
Ja nepieciešams, vēlreiz pārbaudiet rakstzīmes. Mēs saglabājam šo kārtību, bet nomainām to ar mīnusa zīmi:

(3x - 4) (x + 2)
Tagad c termins joprojām ir kārtībā, un ārējie / iekšējie produkti tagad ir (6x) un (-4x). Tāpēc, ka:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Tagad mēs redzam pozitīvo 2x atpakaļ no sākotnējās problēmas. Tiem jābūt pareizajiem faktoriem.

2. metode no 6: sadalīšanās

Šī metode sniedz visus iespējamos tās faktorus a un c termini un tos izmanto, lai uzzinātu, kuri faktori ir pareizi. Ja skaitļi ir ļoti lieli vai citu metožu minēšana aizņems pārāk ilgu laiku, izmantojiet šo ceļu. Piemērs:

6x + 13x + 6

Reiziniet a termiņš ar c jēdziens. Šajā piemērā a ir 6 un c ir arī 6.

6 * 6 = 36
Atrodi b termiņu pēc faktorizācijas un testēšanas. Mēs meklējam 2 skaitļus, kas ir faktori a * c , un kopā b termiņš (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Aizstājiet divus skaitļus, kurus iegūstat vienādojumā, kā skaitļu summu b jēdziens. Iesim k un h lai attēlotu 2 mūsu numurus, 4 un 9:

cirvis + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Faktors polinoms, grupējot. Organizējiet vienādojumu tā, lai jūs varētu atdalīt pirmo divu terminu un pēdējo divu terminu lielāko kopējo dalītāju. Abiem faktoriem jābūt vienādiem. Pievienojiet GGD kopā un ievietojiet iekavās blakus faktoriem; kā rezultātā jūs iegūstat divus faktorus:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

3. metode no 6: trīskāršā spēle

Līdzīgi sadalīšanās metodei. "Trīskāršās spēles" metode pārbauda iespējamos produkta faktorus a un c un izmantojiet to, lai uzzinātu, kas b jābūt. Kā piemēru ņem vienādojumu:

8x + 10x + 2

Reiziniet a termiņš ar c jēdziens. Tāpat kā sadalīšanās metodes gadījumā, mēs to izmantojam, lai noteiktu kandidātus b jēdziens. Šajā piemērā: a ir 8 un c ir 2.

8 * 2 = 16
Atrodiet 2 skaitļus ar šo skaitli kā reizinājumu un ar summu, kas vienāda ar b jēdziens. Šis solis ir tāds pats kā sadalīšanās metode - mēs pārbaudām konstantu kandidātus. Produkts a un c termini ir 16, un c termiņš ir 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Paņemiet šos 2 skaitļus un aizstājiet tos formātā "trīskāršā spēle". Veikt 2 skaitļus no iepriekšējā soļa - pieņemsim tos h un k piezvaniet viņiem un ievietojiet tos izteiksmē:

((cirvis + h) (cirvis + k)) / a

Ar to mēs iegūstam:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Skatiet, ar kuru no abiem saucēja terminiem var pilnībā dalīties a. Šajā piemērā mēs aplūkojam, vai (8x + 8) vai (8x + 2) var dalīt ar 8. (8x + 8) dalās ar 8, tāpēc mēs dalām šo terminu ar a un mēs atstājam otru neskartu.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Termins, ko mēs šeit esam saglabājuši, ir tas, kas paliek pēc dalīšanas ar a termins: (x + 1)
Ja iespējams, ņemiet lielāko kopīgo dalītāju (gcd) no viena vai abiem terminiem. Šajā piemērā mēs redzam, ka otrā termina gcd ir 2, jo 8x + 2 = 2 (4x + 1). Apvienojiet šo atbildi ar iepriekšējā solī atklāto terminu. Šie ir jūsu salīdzināšanas faktori.

2 (x + 1) (4x + 1)

4. metode no 6: divu kvadrātu atšķirība

Dažus koeficientus polinomā var atpazīt kā "kvadrātus" vai arī kā 2 identisku skaitļu reizinājumu. Izprotot, kuri kvadrāti ir, iespējams, daudz ātrāk varēsit faktorizēt polinomus. Mēs ņemam vienādojumu:

27x - 12 = 0

Ja iespējams, noņemiet gcd no vienādojuma. Šajā gadījumā mēs redzam, ka 27 un 12 abi dalās ar 3, tāpēc mēs varam tos ievietot atsevišķi:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Nosakiet, vai jūsu vienādojuma koeficienti ir kvadrāti. Lai izmantotu šo metodi, ir jānosaka terminu sakne. (Ņemiet vērā, ka mēs esam izlaiduši mīnus zīmes - tā kā šie skaitļi ir kvadrāti, tie var būt 2 negatīvu skaitļu reizinājums)

9x = 3x * 3x un 4 = 2 * 2
Izmantojot kvadrātsakni, kuru esat noteicis, tagad varat izrakstīt faktorus. Mēs ņemam a un c vērtības no iepriekšējā soļa: a = 9 un c = 4, tāpēc tā saknes ir: - √a = 3 un √c = 2. Šie ir faktorizēto izteicienu koeficienti:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

5. metode no 6: ABC formula

Ja šķiet, ka nekas nedarbojas un jūs nevarat atrisināt vienādojumu, izmantojiet abc formulu. Ņemiet šādu piemēru:

x + 4x + 1 = 0

Abc formulā ievadiet atbilstošās vērtības:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2.a
Tagad mēs iegūstam izteicienu:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Atrisiniet x. Tagad jums vajadzētu iegūt 2 vērtības x. Šie ir:

x = -2 + √ (3) vai x = -2 - √ (3)
Izmantojiet x vērtības, lai noteiktu faktorus. Ievadiet iegūtās x vērtības abos vienādojumos kā konstantes. Šie ir jūsu faktori. Ja mēs atbildam uz abiem h un k mēs divus faktorus pierakstām šādi:

(x - h) (x - k)
Šajā gadījumā galīgā atbilde ir šāda:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

6. metode no 6: kalkulatora izmantošana

Ja ir atļauts (vai obligāti) izmantot grafiku kalkulatoru, tas ievērojami atvieglo faktoringu, īpaši eksāmeniem un eksāmeniem. Šīs instrukcijas ir paredzētas TI grafisko kalkulatoru. Mēs izmantojam vienādojumu no piemēra:

y = x - x - 2

Ievadiet vienādojumu savā kalkulatorā. Jūs izmantosiet vienādojumu risinātāju, kas pazīstams arī kā ekrāns [Y =].
Grafējiet vienādojumu ar kalkulatoru. Kad esat ievadījis vienādojumu, nospiediet [GRAPH] - tagad jums vajadzētu redzēt izliektu līniju, parabolu kā vienādojuma grafisku attēlojumu (un tā ir parabola, jo mums ir darīšana ar polinomu).
Atrodiet vietu, kur parabola krustojas ar x asi. Tā kā kvadrātvienādojumu parasti raksta kā ax + bx + c = 0, šīs ir divas x vērtības, kas vienādojumu padara vienādu ar nulli:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Ja jūs nevarat redzēt, kur parabola krustojas ar x asi, nospiediet [2nd] un pēc tam [TRACE]. Nospiediet [2] vai atlasiet “nulle”. Pārvietojiet kursoru pa kreisi no krustojuma un nospiediet [ENTER]. Pārvietojiet kursoru pa labi no krustojuma un nospiediet [ENTER]. Pārvietojiet kursoru pēc iespējas tuvāk krustošanās punktam un nospiediet [ENTER]. Kalkulators norādīs vērtību x. Dariet to arī otram krustojumam.
Ievadiet iegūtās x vērtības abās faktorizētajās izteiksmēs. Ja mēs ņemam divas x vērtības h un k kā termins mūsu izmantotais izteiciens izskatās šādi:

(x - h) (x - k) = 0
Tātad mūsu divi faktori kļūst:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Padomi

Ja polinomu esat aprēķinājis ar formulu abc un jūsu atbildē ir saknes, x vērtības var pārvērst daļās, lai tās pārbaudītu.
Ja terminam pirms tā nav koeficienta, tad koeficients ir vienāds ar 1, piemēram, x = 1x.
Ja jums ir TI-84 kalkulators, ir programma ar nosaukumu SOLVER, kas var atrisināt kvadrātvienādojumu jūsu vietā. Tas atrisina arī augstākas pakāpes polinomus.
Pēc daudz prakses jūs galu galā varēsiet atrisināt polinomus no galvas. Bet, lai būtu drošībā, labāk vienmēr tos izrakstīt.
Ja termina nav, koeficients ir nulle. Tad var būt noderīgi pārrakstīt vienādojumu. Piem., x + 6 = x + 0x + 6.

Brīdinājumi

Ja mācāties šo jēdzienu matemātikas stundā, pievērsiet uzmanību tam, ko paskaidro skolotājs, un neizmantojiet tikai savu iecienīto metodi. Iespējams, jums tiks lūgts izmantot noteiktu metodi testēšanai, vai arī grafiku kalkulatori var nebūt atļauti.