Saturs

• Soļi
• Padoms

Ātrumu definē kā objekta ātrumu noteiktā virzienā. Daudzos gadījumos, lai atrastu ātrumu, mēs izmantosim vienādojumu v = s / t, kur v ir ātrums, s ir objekta nobīdes kopējais attālums no sākotnējā stāvokļa, un t ir laiks, kas vajadzīgs objekta ceļojumam. iet visu ceļu. Tomēr teorētiski šī formula attiecas tikai uz ātrumu vidējs no lietām ceļā. Aprēķinot objekta ātrumu jebkurā brīdī gar attālumu. Tas ir Transporta laiks un to nosaka vienādojums v = (ds) / (dt)vai, citiem vārdiem sakot, tas ir vidējā ātruma vienādojuma atvasinājums.

Soļi

1. daļa no 3: Aprēķiniet momentāno ātrumu

1. 

   
   
   Sāciet ar vienādojumu ātruma aprēķināšanai pēc nobīdes attāluma. Lai atrastu momentāno ātrumu, mums vispirms ir jābūt vienādojumam, kas norāda objekta atrašanās vietu (pārvietošanās ziņā) jebkurā brīdī. Tas nozīmē, ka vienādojumam jābūt tikai vienam mainīgajam S vienā pusē un pagriezieties t No otras puses (ne vienmēr tikai viens mainīgais), piemēram:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • Šajā vienādojumā mainīgie ir:

     s = pārvietojums. Attālums, kuru objekts pārvietoja no sākotnējā stāvokļa. Piemēram, ja objekts var iet 10 metrus uz priekšu un 7 metrus atpakaļ, tā kopējais attālums ir 10 - 7 = 3 metri (nevis 10 + 7 = 17m).

     t = laiks. Šis mainīgais lielums ir vienkāršs bez paskaidrojuma, parasti mēra sekundēs.

2. 

   
   
   Veikt vienādojuma atvasinājumu. Vienādojuma atvasinājums ir vēl viens vienādojums, kas parāda attāluma slīpumu noteiktā laikā. Lai atrastu vienādojuma atvasinājumu pēc nobīdes attāluma, aprēķiniet atvasinājumu pēc funkcijas diferenciālā saskaņā ar šādu vispārīgo likumu: Ja y = a * x, atvasinājums = a * n * x. Tas attiecas uz visiem vienādojuma "t" pusē esošajiem terminiem.
   • Citiem vārdiem sakot, sāk iegūt diferenciāli no kreisās uz labo vienādojuma "t" pusē. Ikreiz, kad sastopaties ar mainīgo "t", jūs atņemat eksponentu ar 1 un reiziniet terminu ar sākotnējo eksponentu. Visi pastāvīgie nosacījumi (termini bez "t") pazudīs, jo tie tiek reizināti ar 0. Process patiesībā nav tik grūts, kā jūs domājat - kā piemēru ņemsim iepriekšminētās darbības vienādojumu:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Aizstājiet “s” ar “ds / dt”. Lai parādītu, ka jaunais vienādojums ir sākotnējā kvadrāta atvasinājums, mēs aizstājam "s" ar simbolu "ds / dt". Teorētiski šis apzīmējums ir "s atvasinājums t izteiksmē". Vienkāršāks veids, kā izprast šo apzīmējumu, ds / dt ir jebkura sākotnējā vienādojuma punkta slīpums. Piemēram, lai atrastu attāluma slīpumu, kas aprakstīts ar vienādojumu s = -1,5t + 10t + 4 laikā t = 5, vienādojuma atvasinājumā t aizstājam ar "5".
   • Iepriekš minētajā piemērā vienādojuma atvasinājums izskatās šādi:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Lai atrastu momentāno ātrumu, aizstājiet t vērtību jaunajā vienādojumā. Tagad, kad mums ir atvasinātais vienādojums, atrast momentāno ātrumu jebkurā brīdī ir ļoti viegli. Viss, kas jums jādara, ir izvēlēties t vērtību un aizstāt to ar atvasinājuma vienādojumu. Piemēram, ja mēs vēlamies atrast momentāno ātrumu pie t = 5, atvasinājuma vienādojumā ds / dt = -3t + 10. mums vienkārši t jāaizstāj ar "5". Vienādojumu atrisināsim šādi:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 metri / sekundē

   • Ņemiet vērā, ka mēs izmantojam vienību "metri / sekundē" iepriekš.Tā kā mēs atrisinām problēmu ar pārvietojumu metros un laiku sekundēs, kur ātrums ir precīzi pārvietojums laikā, šī vienība ir piemērota.
   reklāma

2. daļa no 3: grafiskā ātruma novērtēšana

1. 

   Attēlojiet objekta kustības attālumu laika gaitā. Iepriekšējā sadaļā mēs teicām, ka atvasinājums ir arī formula, kas ļauj atrast slīpumu jebkurā no atvasinājuma ņemtā vienādojuma punktā. Patiesībā, ja diagrammā parādāt objekta kustīgo attālumu, Grafika slīpums jebkurā punktā ir objekta momentānais ātrums šajā punktā.
   • Lai attēlotu kustības attālumus, izmantojiet x asi laikā un y asi nobīdē. Pēc tam jūs nosakāt punktu skaitu, pieslēdzot t vērtības kustības vienādojumā, rezultāts ir s vērtības, un jūs grafikā atzīmējat punktus t, s (x, y).
   • Ņemiet vērā, ka diagramma var būt zem x ass. Ja līnija, kas parāda objekta kustību, iet uz leju pa x asi, tas nozīmē, ka objekts virzās atpakaļ no sākotnējās pozīcijas. Kopumā grafiks nepārsniegs y asi - mēs parasti nemērām objektu ātrumu, kas virzās atpakaļ laikā!

2. 

   Grafikā atlasiet punktu P un punktu Q, kas atrodas netālu no punkta P. Lai atrastu grafika slīpumu punktā P, mēs izmantojam "robežu atrašanas" tehniku. Robežas atrašana nozīmē līknes divu punktu (P un Q (viens punkts pie P)) ņemšanu un līnijas slīpuma atrašanu, kas savieno šos divus punktus, atkārtojot šo procesu, jo attālums starp P un Q saīsinās. pakāpeniski.
   • Pieņemsim, ka nobīdes attālumam ir punkti (1; 3) un (4; 7). Šajā gadījumā, ja mēs vēlamies atrast slīpumu pie (1; 3), tad mēs varam iestatīt (1; 3) = P un (4; 7) = Q.

3. 

   Atrodiet slīpumu starp P un Q. Slīpums starp P un Q ir P un Q y vērtību starpība starp P un Q x vērtību starpību. Citiem vārdiem sakot, H = (y_J - y_P) / (x_J - x_P), kur H ir slīpums starp diviem punktiem. Šajā piemērā slīpums starp P un Q ir:
   

   H = (y_J - y_P) / (x_J - x_P)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Atkārtojiet vairākas reizes, pārvietojot Q tuvāk P. Mērķis ir sašaurināt attālumu starp P un Q, līdz tie sasniedz vienu punktu. Jo mazāks attālums starp P un Q, jo tuvāk šī bezgalīgi mazā segmenta slīpums būs slīpumam punktā P. Atkārtojiet dažas reizes mūsu piemēru vienādojumam, izmantojot punktus (2; 4 , 8), (1,5; 3,95) un (1,25; 3,49) dod Q, un P sākotnējās koordinātas ir (1; 3):
   

   Q = (2; 4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Aprēķina grafika līknes ārkārtīgi mazā segmenta slīpumu. Kad Q tuvojas arvien tuvāk P, H pakāpeniski tuvosies slīpumam pie P. Visbeidzot, pie ļoti mazas līnijas H būs slīpums pie P. Tā kā mēs nevaram izmērīt vai aprēķināt Līnijas garums ir ārkārtīgi mazs, tāpēc novērtējiet slīpumu pie P tikai tad, kad tas ir skaidri redzams no mūsu aprēķinātajiem punktiem.
   • Iepriekš minētajā piemērā, virzoties H tuvāk P, mums H vērtības ir 1,8; 1.9 un 1.96. Tā kā šie skaitļi tuvojas 2, mēs varam teikt 2 ir aptuvenā slīpuma vērtība pie P
   • Atcerieties, ka slīpums jebkurā grafa punktā ir grafika vienādojuma atvasinājums šajā punktā. Tā kā grafiks attēlo objekta pārvietošanos laika gaitā, kā redzējām iepriekšējā sadaļā, tā momentālais ātrums jebkurā punktā ir objekta pārvietošanās attāluma atvasinājums problemātiskajā punktā. Piekļuve, mēs varam teikt 2 metri / sek ir aptuvens momentānā ātruma novērtējums, kad t = 1.
   reklāma

3. daļa no 3: Paraugproblēma

1. 

   Atrodiet momentāno ātrumu, kad t = 1 ar pārvietojuma vienādojumu s = 5t - 3t + 2t + 9. Tāpat kā piemērs pirmajā sadaļā, bet tas ir kubiskais, nevis kvadrātiskais, tāpēc mēs varam atrisināt problēmu tādā pašā veidā.
   • Vispirms ņemiet vienādojuma atvasinājumu:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Tad mēs aizstājam t (4) vērtību:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 metri sekundē

2. 

   Izmantojiet grafika novērtēšanas metodi, lai atrastu momentāno ātrumu pie (1; 3) nobīdes vienādojumam s = 4t - t. Šai problēmai mēs izmantojam koordinātas (1; 3) kā punktu P, bet mums jāatrod citi Q punkti, kas atrodas tā tuvumā. Tad viss, kas mums jādara, ir jāatrod H vērtības un jānosaka aprēķinātā vērtība.
   • Pirmkārt, mēs atrodam Q punktus, kad t = 2; 1,5; 1.1 un 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, tātad Q = (2; 14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, tātad Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, tātad Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, tāpēc viss Q = (1,01; 3,0704)

   • Tālāk mēs iegūsim H vērtības:
     

     Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Tā kā H vērtības, šķiet, ir tuvāk 7, mēs to varam teikt 7 metri sekundē ir aptuvenais momentānā ātruma novērtējums koordinātā (1; 3).
   reklāma

Padoms

• Lai atrastu paātrinājumu (ātruma izmaiņas laika gaitā), izmantojiet metodi pirmajā daļā, lai iegūtu pārvietojuma vienādojuma atvasinājumu. Tad atkal ņemiet atvasinājumu tikko atrastajam atvasinājuma vienādojumam. Rezultāts ir tāds, ka jums ir paātrinājuma vienādojums noteiktā laika posmā - atliek tikai pieslēgt laiku.
• Vienādojums Y (nobīdes attāluma) korelēšanai ar X (laiks) var būt ļoti vienkāršs, piemēram, Y = 6x + 3. Šajā gadījumā slīpums ir nemainīgs, un nav nepieciešams ņemt atvasinājums slīpuma aprēķināšanai, tas ir, tas atbilst lineārā grafika pamatvienādojuma formai Y = mx + b, ti, slīpums ir 6.
• Pārvietošanas attālums ir līdzīgs attālumam, bet tam ir virziens, tāpēc tas ir vektora lielums, un ātrums ir skalārs lielums. Ceļošanas attālumi var būt negatīvi, bet attālumi - tikai pozitīvi.